Basiswechsel Strukturform der Bilinearform

11.05.2012, 17:36	Crisp	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel Strukturform der Bilinearform Hi Leute, ich versuche gerade mir den Basiswechsel anhand eines Rechenbeispiels klarzumachen. Es heißt: Sei $\begin{eqnarray} \beta : VxV\rightarrow V \end{eqnarray}$ eine Bilinearform. Sei $\begin{eqnarray} B_{\beta, b} \end{eqnarray}$ die Strukturmatrix von $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ bzgl. der durchnummerierten Basis $\begin{eqnarray} b = \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} b' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ eine andere Basis mit $\begin{eqnarray} b_{j}' = \sum\limits_{i=1} s_{ij}b_{i} \Rightarrow S \in GL_{3}(\mathbb R ) \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} B_{\beta,b'} = S^{T}B_{\beta,b}S \end{eqnarray}$ Mit meinen obigen Basen erhalte ich, wenn ich $\begin{eqnarray} \beta(b_{k},b_{l}), k,l <4 \end{eqnarray}$ berechne die Strukturformen $\begin{eqnarray} B_{\beta,b}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}, B_{\beta,b'}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \\ -1 & -3 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich scheiter allerdings beim bestimmen von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , ich erhalte $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , aber wenn ich damit $\begin{eqnarray} B_{\beta,b'} \end{eqnarray}$ nach obiger Formel berechnen will, kommt bei mir nicht die für $\begin{eqnarray} B_{\beta,b'} \end{eqnarray}$ obige Matrix raus... Also gehe ich davon aus, dass ich $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ falsch bestimmt habe...meine Frage ist nun, wie $\begin{eqnarray} s_{ij} \end{eqnarray}$ genau aussieht, damit $\begin{eqnarray} b_{j}'=\sum\limits_{i=1} s_{ij}b_{i} \end{eqnarray}$ gilt. Danke im Voraus.
11.05.2012, 20:04	Crisp	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also: Mit $\begin{eqnarray} b{j}' = \sum\limits_{i=1}^3 s_{ij}b_{i} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} -\frac{3}{2}b_{1}-\frac{1}{2}b_{2}+\frac{1}{2}=b_{1}' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{5}{2}b_{1}-\frac{3}{2}b_{2}-\frac{1}{2}=b_{2}' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{5}{2}b_{1}+\frac{5}{2}b_{2}+\frac{1}{2}=b_{3}' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow S = \begin{pmatrix} -1.5 & -0.5 & 0.5 \\ -2.5 & -1.5 & -0.5 \\ 2.5 & 2.5 & 0.5 \end{pmatrix}, S^{T} = \begin{pmatrix} -1.5 & -2.5 & 2.5 \\ -0.5 & -1.5 & 2.5 \\ 0.5 & -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Aber: $\begin{eqnarray} S^{T}B_{\beta,b}S =\begin{pmatrix} 51 & 46 & 11 \\ 46 & 42 & 10 \\ -7 & -5 & -3 \end{pmatrix}\neq B_{\beta,b'} \end{eqnarray}$ Was übersehe ich?

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