p über sigma und n

11.05.2012, 19:15

Frenky9

p über sigma und n

Hi

bei einer Aufgabe sind die Standardabweichung (sigma) und n gegeben. Es soll nun p berechnet werden.
Die Formel lautet:

p1,2=1/2+-sqrt(n-4*sigma^2)/2*sqrt(n)

Ist diese Formel eine Umstellung Berechnung von sigma (über n, p und q) oder wie wird sie hergeleitet?

Gruß
P.S.: Ich hoffe, man kann die Formel verstehen, bin mit dem Formeleditor nicht so ganz zurecht gekommen

11.05.2012, 19:29

HAL 9000

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Symbole wie $\begin{eqnarray*} n,p,\sigma \end{eqnarray*}$ sind Schall und Rauch, wenn man sie nicht in den richtigen Kontext einordnet. Insofern ist deine ganze Problembeschreibung unvollständig, solange du nicht wenigstens einmal erwähnst, dass du von $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ -binomialverteilten Zufallsgrößen redest!!! Es gibt auch noch andere Verteilungen und damit anderere mögliche Bedeutungen von $\begin{eqnarray*} n,p,\sigma \end{eqnarray*}$ , als deine Schulweisheit sich träumen lässt. Augenzwinkern

Nach diesem langen, aber nötigen Vorspann:

Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ hat nun die Varianz $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X)=np(1-p) \end{eqnarray*}$ , und wenn man das dann $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ nennt, dann ist die von dir angegebene Formel

$\begin{eqnarray*} p_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{n-4\sigma^2}}{2\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

tatsächlich durch Umstellung dieser Formel $\begin{eqnarray*} np(1-p) = \sigma^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ entstanden - Stichwort: quadratischen Gleichung.

12.05.2012, 09:28

Fielnix

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Vielen Dank für die Antwort, das ist exakt, was ich hören wollte.
Nur noch eins:
Quadratische Gleichung lässt mich an die pq-Formel denken. Also die Gleichung durch n teilen, die Klammer ausmultiplizieren, man erhält dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\sigma^2}{n} = p-p^2 \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt mit -1 multiplizieren, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ergänzen und erhalte dann die Binomische Formel
$\begin{eqnarray*} \left(p-0,5\right)^2 \end{eqnarray*}$ .
Nun kann ich die Wurzel ziehen und erhalte
$\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\sigma^2}{n} } = p - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Addiert man noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , so ergibt das
$\begin{eqnarray*} p = \pm \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\sigma^2}{n} } \end{eqnarray*}$

verwirrt

P.S.: Ich bin der Threadersteller, hatte mich nur falsch angemeldet

12.05.2012, 11:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fielnix
Ich würde jetzt mit -1 multiplizieren, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ergänzen

[...]

Nun kann ich die Wurzel ziehen und erhalte
$\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\sigma^2}{n} } = p - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das Vorgehen an sich ist richtig, deine Umsetzung dessen im Ergebnis aber nicht. unglücklich

Richtig durchgeführt ergeben die ersten Schritte

$\begin{eqnarray*} \left( p-\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}-\frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray*}$

und nach Wurzelziehen und Umstellung

$\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{\sigma^2}{n}} \end{eqnarray*}$ ,

und das entspricht dem obigen Ergebnis, wenn auch die Wurzel in anderer, aber äquivalenter Form dasteht: Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{n-4\sigma^2}{4n}} = \frac{\sqrt{n-4\sigma^2}}{\sqrt{4n}} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich ahne, welchen Murks du fabriziert hast, du hast sowas in der Art von

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{\sigma^2}{n}} \stackrel{???}{=} \sqrt{\frac{1}{4}}-\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \end{eqnarray*}$

gerechnet - übel, ganz übel. geschockt

12.05.2012, 14:13

Fielnix

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Ja, alles klar. Vielen Dank.
Ich habe jetzt auch den Fehler gefunden. Ich habe oben zuerst die Wurzel gezogen und dann die 1/4 eingefügt. LOL Hammer

So geht's natürlich nicht.

Nur die Umformung des Wurzelausdrucks muss ich mir nochmal genauer ansehen.
Welches Potenzgesetz kommt dabei zur Anwendung?

13.05.2012, 18:15

Fielnix

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Brüche gleichnamig machen, alles klar.

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