Parallelenaxiom nach Euklid -> Herleitung der neuen Form |
| 11.05.2012, 19:38 | Daniel1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Parallelenaxiom nach Euklid -> Herleitung der neuen Form Hallo, ich bereite mich z.Z. auf den Übergang zur Uni vor und mach deshalb ein Mathematikvorbereitungsbuch. Dort gibt es eine Aufgabe die folgendes fordert: Folgern Sie aus Euklids Axiom 5 (original), dass das Paralleaxiom in der aktuellen Fassung gilt. Parallelenaxiom 5 gem. Euklid: Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf der selben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden unbegrenzt verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. Neufassung: Befinden sich eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt in einer Ebene, so gibt es genau eine Gerade h in dieser Ebene, die parallel zu g ist und durch den Punkt P geht. So, und nun die Lösung des Buches die ich absolut nicht nachvollziehen kann/will. Man ging folgedermaßen vor: Man zeichnete zwei parallele Geraden einmal g und h1. P liegt in h1. Danach ging man in der Lösung so vor, das man einfach noch eine Gerade h2 gezeichnet hat, die ungleich zu h1 war. Man schloss daraus, das h2 und g innere Winkel besitzen die <90° sind. Folglich würde sich dies mit dem Parallelenaxiom nach Euklid widersprechen. Meine Ideen: M.E. ist das natürlich prinzipiell richtig. Aber streng genommen, müsste man ja alle möglichen Gerade statt h2 ausprobieren die durch P gehen. Klar wäre keine parallel. Bzw. müsste man doch beweisen, das g und hx IMMER zwei Winkel einschließen, die zusammen kleiner als 180° sind. Das ist jetzt wohl eine eher unkonventionelle Frage, wenn mir dennoch jemand weiterhelfen würde, wäre ich wirklich sehr dankbar! lg |
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