Folgen und Häufungspunkte

11.05.2012, 20:27

Barry

Folgen und Häufungspunkte

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
Konstruieren eine Folge, deren Menge der Häufungspunkte genau folgenden Mengen entspricht:
1.{1,2,...,m},m Element natürlicher Zahlen
2.N (natürliche Zahlen ohne 0)

Ich muss nur wissen ob meine Annahmen korrekt sind, oder ob ich das Thema unter Umständen missverstanden habe.

Meine Ideen:
zu 1.
Ich habe intuitiv an folgende Folge gedacht:
$\begin{eqnarray*} a_{n} =\left\{ x| (n-x)\geq 0.n,x \in \mathbb N (ohne 0))\right\} \end{eqnarray*}$
Die Lösungsmenge aller Teilfolgen ist {1,2...,n} weil
nur erfüllt falls x<=n und da x Element N gilt 0<x<=n

zu 2.
(An)={|x|+1. x Element ganzer Zahlen(ohne 0)}
Hmm scheint mir logisch. Einen ausführlichen Beweis muss ich noch erarbeiten

11.05.2012, 23:18

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RE: Folgen und Häufungspunkte
Deine Lösung für 1 verstehe ich nicht. Wie genau sieht denn dein Element $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ aus? Da ist eine Menge angegeben...

Auch 2: Wieder gibst du eine Menge an, keine Folge.

Gruß
MI

12.05.2012, 10:25

Barry

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Stimmt, danke
kann man denn eine Ungleichung als Folge aufschreiben?

zu 2. Muss das dann wie folgt lauten?:
$\begin{eqnarray*} a_{n} =x.x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

12.05.2012, 10:41

Barry

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Noch ne weitere Idee zu 1.)

sonst zu 1.:

Sei $\begin{eqnarray*} x<=m.x,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{m} = (m-x)+1 \end{eqnarray*}$

Da ich die Lösung nicht erraten will, hier der Gedanke:
Da m>x und x,m Element N(ohne 0) kann man alle natürlichen Zahlen bis m konstruieren.

12.05.2012, 23:48

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Sorry, hatte deine Antwort irgendwie nicht gesehen...

Ich glaube, ich verstehe jetzt, wie du auf deine ersten Ideen kommst.
Dein Hauptproblem ist leider, dass du nicht weißt, was ein Häufungspunkt einer Folge ist.

Der Punkt ist: Du sollst in deiner Folge nicht alle Elemente bis m konstruieren, sondern sie sollen genau unendlich oft vorkommen, bzw. in jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl sollen unendlich viele Folgenglieder vorkommen (das ist die richtige Definition).

Zum Beispiel hat die Folge
$\begin{eqnarray*} a_n:=1/n \end{eqnarray*}$ für alle n aus IN
genau einen Häufungspunkt, die Null: In jeder Umgebung um die Null liegen unendlich viele Folgenglieder (alle, bis auf maximal ein paar Glieder zu Beginn der Folge).
Genauso hat die Folge:
$\begin{eqnarray*} a_{2n}=1;~~a_{2n+1}=-1 \end{eqnarray*}$ für alle n aus IN
genau zwei Häufungspunkte: 1, und -1, da beide Zahlen unendlich oft vorkommen (also liegen in jeder Umgebung der Zahlen je unendlich viele Folgenglieder).

Und jetzt probiere es noch einmal:
Wir wollen eine Folge, deren Häufungspunkte genau die Zahlen 1 bis m sind.
Fang einmal an mit m=2 und überlege dir, wie du das anstellen kannst (Lösung habe ich quasi angegeben Augenzwinkern

).
Wie geht's für m=3? Und wie für m beliebig?

Und dann kannst du zu allen natürlichen Zahlen übergehen. Das ist etwas schwieriger, aber vielleicht fällt's dir dann auch ein.

Gruß
MI

13.05.2012, 10:38

Barry

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für m=2 wäre doch möglich:
$\begin{eqnarray*} a_{2n}=2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

für m=3:
$\begin{eqnarray*} a_{3n}=3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

für beliebiges m:
$\begin{eqnarray*} a_{mn}=m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Hm es kann sein, dass ich es langsam verstehe. Auch hier kommt in (1) und (2) die Punkte 2,3 unendlich mal vor und somit sind sind Häufungspunkte. Und für beliebiges m hab ich mein obriges Schema verallgemeinert. Müsste doch genau das sein was du mir vorgeschlagen hast oder?

Ich lese mal noch ein par Artikel bzgl Häufungspunkte, aber vlt kannst du mir währenddessen sagen ob das hier falsch ist.

Danke im voraus
-Barry

EDIT: L={1...m}, weil man Teilfolgen(Glieder von der Folge weglassen) erstellen kann um alle Zahlen <m herzustellen. Oder?

13.05.2012, 19:50

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Da habe ich wohl ein paar Minuten zu früh reingeschaut heute morgen...

Also von der Grundidee glaube ich, dass du auf dem richtigen Weg bist - allerdings ist das natürlich keine vollständige Folgenbeschreibung.

Also noch mal genauer:

m=2:

$\begin{eqnarray*} a_{2n}=2;~~a_{2n-1}=1~~ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

m beliebig:
$\begin{eqnarray*} a_{2m}=m;~~a_{2m-1}=m-1;~~\ldots; ~~ a_{2m-(m-1)}=1;~~\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Entsprechend kommen jeweils die Zahlen von 1-2 bzw. von 1 bis m beliebig oft vor.

Und dann stimmt natürlich auch:

Zitat:

L={1...m}, weil man Teilfolgen(Glieder von der Folge weglassen) erstellen kann um alle Zahlen <m herzustellen. Oder?

Welche Teilfolge du nehmen musst, ist natürlich offensichtlich Augenzwinkern

.

Eine andere Möglichkeit wäre auch:

m beliebig:
$\begin{eqnarray*} a_{mn}=m+1/n;~~a_{mn-1}=m-1+1/n;~~\ldots; ~~ a_{mn-(m-1)}=1+1/n;~~\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Jetzt nähern sich die Folgenglieder von oben jeweils den Zahlen 1-m an. Keine Zahl kommt beliebig häufig vor, aber dennoch sind 1-m die Häufungspunkte der Menge.
Um das Teilfolgenargument durchzuziehen nimmst du die gleichen Teilfolgen wie oben - jetzt sind das aber keine konstanten Teilfolgen mehr, sondern einfache monoton fallende Folgen mit Grenzwert.

Gruß
MI

13.05.2012, 21:12

Barry

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herzlichen dank

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