lim (n)^1/n = 1 mit Umformung der bernouillischen Ungleichung

11.05.2012, 22:26

SilverShadow

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lim (n)^1/n = 1 mit Umformung der bernouillischen Ungleichung

Hallo!
Ich hocke gerade vor einer Aufgabe zur Konvergenz von Folgen:

http://s14.directupload.net/images/120511/li38i2ev.jpg

So wie ich das sehe, ist die Ungleichung im Hinweis aus der Bernoullischen Ungleichung umgeformt:
$\begin{eqnarray*} 1+nx \leq (1+x)^n \Leftrightarrow 1+ \frac{n!}{2!*(n-2)!}*x^2 \leq (1+x)^n \end{eqnarray*}$

Also muss $\begin{eqnarray*} nx \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2!*(n-2)!}*x^2 \end{eqnarray*}$ umgeformt werden.
Habs jetzt schon versucht durch Aufheben von allen Fakultäten (dann kann man irgendwann n! kürzen); aber dann steht oben x^2 und unten irgendwas mit (n+Zahl)^2+Zahl.
Darf man da dann eigentlich die Potenz wegnehmen, wenn bei allen die Potenz steht? Wie auch immer, diese Umformung würde auch nichts bringen.

Bräuchte also erstmal einen Tipp, wie ich das eine in das andere umformen kann.

Und eine kleine Frage zur Bern. Ungleichung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung
Warum steht hier im Beispiel $\begin{eqnarray*} a \geq 1 \end{eqnarray*}$ ? Eigentlich reicht doch a > 0?

Vielen Dank smile

smile

11.05.2012, 23:25

Valdas Ivanauskas

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RE: lim (n)^1/n = 1 mit Umformung der bernouillischen Ungleichung
Die Abschätzung folgt aus dem binomischen Lehrsatz.

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2\text{ und }x>0 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k=1+nx+{n\choose 2}x^2+\ldots+x^n\geq{n\choose 2}x^2\geq\frac{(nx)^2}4. \end{eqnarray*}$

In der gewonnenen Ungleichung

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq\frac{(nx)^2}4 \end{eqnarray*}$

setze nun

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$

und folgere

$\begin{eqnarray*} 1\leq\sqrt[n]{n}\leq 1+\frac 2{\sqrt{n}}. \end{eqnarray*}$

12.05.2012, 12:26

SilverShadow

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Kommt man denn bei dem Lösungsansatz explizit auf die im Hinweis gegebene Gleichung?

Bzw ist $\begin{eqnarray*} \frac{(nx)^2}4 \end{eqnarray*}$ umformbar, sodass die Ungleichung wie im Hinweis rauskommt?

Zum 2. Teil:
Gut, die Wurzel ist nun also größer gleich 1, aber darf ich denn sofort folgern, dass auf der rechten Seite auch 1 steht, weil $\begin{eqnarray*} \frac 2{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht?

13.05.2012, 17:24

SilverShadow

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push

smile

15.05.2012, 10:39

SilverShadow

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niemand? :/

15.05.2012, 11:56

Helferlein

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Du bildest doch den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Wobei Vaklas nicht exakt den Hinweis benutz hat. Wenn Du Dich daran halten willst, musst Du den Beweis leicht abwandeln. Ein wenig Eigenarbeit sollte ja auch dabei sein.

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15.05.2012, 13:03

SilverShadow

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Naja, mittlerweile bin ich mir nicht mehr sicher, was man annehmen darf und was nicht.

Was ich mich frage:
Wie kommt man denn von $\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k \end{eqnarray*}$ , was ein Term ist, auf einmal auf eine Ungleichung?

15.05.2012, 13:10

Helferlein

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Das steht doch oiben schon: Schau Dir den Term ausgeschrieben an und lasse ein paar Summanden weg. Dann muss der neue Term logischerweise kleiner sein.

15.05.2012, 13:20

SilverShadow

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Zitat:

Original von Helferlein
Das steht doch oiben schon: Schau Dir den Term ausgeschrieben an und lasse ein paar Summanden weg. Dann muss der neue Term logischerweise kleiner sein.

Naja, wenn $\begin{eqnarray*} 1+nx+{n\choose 2}x^2 \leq (1+x)^n \end{eqnarray*}$ (also ich suche mir 2 Glieder der Summe raus) gelten muss, ist natürlich der Hinweis bewiesen, richtig?

15.05.2012, 13:22

Helferlein

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Ich sehe da drei Gleider und nicht zwei.

15.05.2012, 13:28

SilverShadow

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Zitat:

Original von Helferlein
Ich sehe da drei Gleider und nicht zwei.

Ich schreibs vlt. lieber so:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k=1+nx+{n\choose 2}x^2+\ldots+x^n\ \geq 1+nx+{n\choose 2}x^2 \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ ja über die gesamte Summe definiert ist muss folglich auch
$\begin{eqnarray*} 1+nx+{n\choose 2}x^2 \leq (1+x)^n \end{eqnarray*}$
gelten?

15.05.2012, 13:30

Helferlein

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Schon, aber der Hinweis sagt doch etwas anderes, wenn auch sehr ähnliches, aus.

15.05.2012, 13:36

SilverShadow

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Zitat:

Original von Helferlein
Schon, aber der Hinweis sagt doch etwas anderes, wenn auch sehr ähnliches, aus.

Ich sollte lesen lernen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k=1+nx+{n\choose 2}x^2+\ldots+x^n\ \geq 1+{n\choose 2}x^2 \end{eqnarray*}$
Also ich nehme quasi einen Teil der ersten Summe und die Zweite.

oder macht mir jetzt noch das x in R+ Probleme?

15.05.2012, 13:54

Helferlein

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Probleme bei was?
Die Ungleichung ist doch nur deshalb offensichtlich, weil wir positive Terme weggelassen haben.

Jetzt folgst Du Valdas Anleitung, um den Grenzwert der Wurzel zu zeigen.

15.05.2012, 14:55

SilverShadow

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Ich versuch es gerade auch mit
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ ; Kommt bei der Umformung von $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2!*(n-2)!} = \frac{1}{2n-4} \end{eqnarray*}$ raus? Also die Umformung des Bin.koeff..

15.05.2012, 15:55

Helferlein

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Gegenfrage: Ist n! kleiner oder größer als (n-2)! ?

15.05.2012, 19:20

SilverShadow

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Größer!

16.05.2012, 21:26

SilverShadow

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Sollte mir das die Frage jetzt selber beantworten? Richtig oder falsch Big Laugh

Big Laugh

16.05.2012, 21:37

Helferlein

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Wenn n! größer als (n-2)! ist (was man als Student ja sicher weiss), wie sollte dann $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2!*(n-2)!} = \frac{1}{2n-4} \end{eqnarray*}$ gelten ?

16.05.2012, 21:38

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von SilverShadow
Kommt man denn bei dem Lösungsansatz explizit auf die im Hinweis gegebene Gleichung?

Kann - muss aber nicht.
Mit der angegebenen Abschätzung funktioniert's doch einwandfrei. Warum also sklavisch am Hinweis festhalten?

Zitat:

Original von SilverShadow
Bzw ist $\begin{eqnarray*} \frac{(nx)^2}4 \end{eqnarray*}$ umformbar, sodass die Ungleichung wie im Hinweis rauskommt?

Ist doch egal.

Zitat:

Original von SilverShadow
Zum 2. Teil:
Gut, die Wurzel ist nun also größer gleich 1, aber darf ich denn sofort folgern, dass auf der rechten Seite auch 1 steht, weil $\begin{eqnarray*} \frac 2{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht?

Hast Du schon mal was vom Einschließungskriterium (aka Sandwich-Lemma) gehört?

16.05.2012, 21:41

Valdas Ivanauskas

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@Helferlein: Ich wollte Dir hier übrigens nicht reingrätschen. Diese Fragen zu meinem Beitrag oben wollte ich aber auch nicht unkommentiert lassen.
Jetzt ist der Ball aber wieder bei Dir.

16.05.2012, 21:54

Helferlein

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@Valdas: Es war ja ursprünglich dein Thread.
Ich bin nur eingesprungen, weil mehrere Tage keine Antwort kam. Kannst daher gerne weitermachen, wenn Du magst.

16.05.2012, 22:05

SilverShadow

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Zitat:

Original von Helferlein
Wenn n! größer als (n-2)! ist (was man als Student ja sicher weiss), wie sollte dann $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2!*(n-2)!} = \frac{1}{2n-4} \end{eqnarray*}$ gelten ?

Stimmt, da hast du Recht Big Laugh

Big Laugh

@Valdas Ivanauskas
Dachte ich mir jetzt auch, hab sowieso schon einige Sachen anders als im Hinweis bewiesen, werde es also so machen.

Nein, habe ich nicht. Habs mir jetzt mal auf Wiki durchgelesen, hört sich aber logisch an.

---

Auf meinem Blatt habe ich jetzt als Begründung folgendes hingeschrieben:
"Da der Term 2/n-te Wurzel (n) für n gegen unendlich gegen 0 geht (Monotonie der Wurzelfunktion & 2 konstant -> nur der Nenner steigt -> Bruch wird sehr klein) folgt nun, dass es gegen 1 konvergiert"

16.05.2012, 22:21

Helferlein

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Wenn Du das wörtlich so geschrieben hast, dann kannst Du nur hoffen, dass der Korektor nicht genau liest, denn erstens ist die Aussage falsch und zweitens hat sie nichts mit deiner Rechnung zu tun.
Es geht in der Rechnung um den Term $\begin{eqnarray*} \frac 2{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ und nicht . $\begin{eqnarray*} \frac 2{\sqrt[n]n} \end{eqnarray*}$

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