Orthonormalbasis aus Skalarprodukt

11.05.2012, 22:49

Der_Denker

Orthonormalbasis aus Skalarprodukt

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe bei der ich ein Skalarprodukt auf V nachweisen soll und anschließend soll ich eine Orthonormalbasis von V bezüglich dieses Skalarproduktes finden.
Der Nachweis des Skalarproduketes macht mir keine Probleme, damit bin ich fertig, nur wie kann ich aus folgendem eine Orthonormalbasis bestimmen?

$\begin{eqnarray*} <f,g>=2\int_0^1 \! tf(t)g(t) \, dt \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} V={f \in \mathbb R[X] | degf\leq2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Brauche einen Denkanstoß wie man sowas bestimmen kann.
Eine Orthonormalbasis aus Vektoren mit Gram-Schmidt kann ich berechnen, aber wie muss ich hier vorgehen? unglücklich

11.05.2012, 22:52

lgrizu

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RE: Orthonormalbasis aus Skalarprodukt
Du kannst auch hier Gram Schmidt verwenden, wie lautet denn das Verfahren?

11.05.2012, 23:00

Der_Denker

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ja genau das ist mein Problem, ich weiß nicht wie ich die Vektoren bekomme die ich zur berechnung benötige unglücklich

Also ich kann ja f(t) auschreiben als irgendein Polynom grad kleiner gleich 2, sagen wir einfach mal $\begin{eqnarray*} t^2+t+1 \end{eqnarray*}$
Multipliziert mit dem t komme ich auf $\begin{eqnarray*} t^3+t^2+t \end{eqnarray*}$
Aber wie gehts weiter, ich habe jetzt ein Polynom, weiß aber nicht was g(t) ist und wie kann ich gram-schmidt hier anwenden mit nur einem Polynom?

11.05.2012, 23:11

lgrizu

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Du musst schon integrieren.

Gram Schmidt funktioniert doch so:

Man nehme eine beliebige Basis (wähle die einmal) und verwende den Algorithmus, danach normalisieren.

Also, erst mal eine Basis bilden....

11.05.2012, 23:25

Der_Denker

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Ja gut also wenn ich jetzt irgendein Polynom nehme und integriere und die Grenzen einsetze bekomme ich ja eine Zahl heraus, also habe ich dann den Vektor der Gestalt
$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 \end{pmatrix} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Aber welche Länge hat denn der Vektor, ich weiß einfach nicht wie ich das verstehen soll verwirrt

Und beim gram-schmidt verfahren brauche ich doch mehrere Vektoren die ich dann in die Formel einsetze??? Oder gibts da auch ne Möglichkeit nur mit einem Vektor zu rechnen?
Ich weiß echt nicht weiter....

11.05.2012, 23:33

lgrizu

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Was ist denn die "Länge" eines Vektors? Ich hoffe doch mal, du meinst die Norm....

Und welchen Zusammenhang gibt es zwischen Norm und Skalarprodukt?

Und wie kommt dein Tupel zustande?

Fragen über Fragen.....

Beginnen wir mal ganz vorne, bei der Definition eines Vektors, das ist einfach ein Element aus deinem Vektorraum, dieser ist hier aber nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ für irgendein n, sondern der Raum der Polynome mit Koeffizienten aus IR, also haben Tupel hier erst mal überhaupt nichts verloeren.

Nun soll der Grad kleiner oder gleich 2 sein, welche Dimension hat der VR?

Dann bilde einmal eine Basis.

Und dann wende Gram Schmidt an.

11.05.2012, 23:45

Der_Denker

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Also ich habe ja ein Polynom vom grad kleiner gleich 2, mit dem t davor wird es ein polynom vom grad kleiner gleich 3 und wenn ich das ganze integriere komme ich auf ein polynom vom grad kleiner gleich 4 oder?
Das heißt ich hätte wenn ich das integrierte Polynom als einen Vektor schreibe die Gestalt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also einfach mal ein Beispiel
Sei f(t)=x^2 und g(t)=1 (kann ich g(t) einfach so wählen?), somit komme ich auf folgende Darstellung

$\begin{eqnarray*} 2\int_0^1 \! t^3 \, dt = \left[\frac{1}{2}t^4\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

So und jetzt mein Problem, soll ich die Grenzen einfach einsetzen? dann bekomme ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ raus und wäre mein Vektor dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

"Genormt" wäre er ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist eben mein Problem, wie weiter? ich brauche doch jetzt einen zweiten Vektor um gram-schmidt anzuwenden, oder bin ich ganz auf dem holzweg? unglücklich

11.05.2012, 23:56

lgrizu

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Zitat:

Original von Der_Denker
Also ich habe ja ein Polynom vom grad kleiner gleich 2, mit dem t davor wird es ein polynom vom grad kleiner gleich 3 und wenn ich das ganze integriere komme ich auf ein polynom vom grad kleiner gleich 4 oder?

Ich hoffe nicht, du solltest schon ein Skalar heraus bekommen....

Zitat:

Original von Der_Denker
Das heißt ich hätte wenn ich das integrierte Polynom als einen Vektor schreibe die Gestalt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso denn schon wieder Tupel? Unsere Vektoren sind Polynome, keine Tupel...

Zitat:

Original von Der_Denker
Also einfach mal ein Beispiel
Sei f(t)=x^2 und g(t)=1 (kann ich g(t) einfach so wählen?), somit komme ich auf folgende Darstellung

$\begin{eqnarray*} 2\int_0^1 \! t^3 \, dt = \left[\frac{1}{2}t^4\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

So und jetzt mein Problem, soll ich die Grenzen einfach einsetzen? dann bekomme ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ raus

Das ist mal richtig, das ist der Wert des Skalarproduktes....

Zitat:

Original von Der_Denker
und wäre mein Vektor dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

"Genormt" wäre er ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und schon wieder irgendwelche Tupel....

Zitat:

Original von Der_Denker
Und jetzt ist eben mein Problem, wie weiter? ich brauche doch jetzt einen zweiten Vektor um gram-schmidt anzuwenden, oder bin ich ganz auf dem holzweg? unglücklich

[/quote]

Du hast doch schon zwei Vektorn gewählt.....

Das ist alles irgendwie ganz schön durcheinander und macht den Eindruck, du hättest fundamentale Verständnisprobleme....

Also: Wir haben einen Vektorraum gegeben, das ist IR[X] vom Grad kleiner gleich 2, nun bestimme einmal eine Basis des Vektorraums.

Und dann verrate mir noch, wie der Zusammenhang von Norm und Skalarprodukt aussieht.....

12.05.2012, 00:17

Der_Denker

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Ja ich habe in der Tat fundamentale Probleme, deswegen verstehe ich das hier nicht wirklich unglücklich

Alos die Norm ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} ||a||=\sqrt{<a,a>} \end{eqnarray*}$
Ich dachte immer ich könnte Polynome als Tupel schreiben? Jedenfalls haben wir das schonmal so gemacht in der VL, deswegen verstehe ich nicht warum ich das nicht kann.
Wir haben also den Vektorraum R[X] mit grad kleiner gleich 2, also wäre eine Basis z.B. X²+X+1?
Und ich dachte ich könnte dies dann umschreiben in Vektoren der Gestalt $\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Schauen wir uns nochmal die Gleichung an
Wenn ich hier <f,f> wähle mit z.B. f(t)=X
Und alles integriere komme ich am ende auf den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Wäre dies in dem Fall dann die Norm von X?
Ich hoffe ich denke nicht wieder ganz verkehrt unglücklich

12.05.2012, 00:27

lgrizu

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Zunächst einmal ist richtig: $\begin{eqnarray*} ||v||=<v,v>^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Der VR der Polynome vom Grad <=n ist isomorph zum Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ , das ist richtig. Wir haben hier aber nun nicht das euklidsche Skalarprodukt, sonder ein Integral, da ist es nicht sonderlich sinnvoll, diese Isomorphie auszunutzen.

Wir können zum Beispiel die Standardbasis wählen, also die drei Polynome

$\begin{eqnarray*} p_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3=x^2 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir ein Skalarprodukt gegeben, und das ist auch richtig, es ist $\begin{eqnarray*} <x,x>=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Um die Norm zu erhalten muss noch die Wurzel gezogen werden, also $\begin{eqnarray*} ||x||=\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir doch eigentlich alles beisammen, um Gram Schmidt anzuwenden.

Edit: Ich gehe jetzt schlafen, schaue morgen noch mal rein......

12.05.2012, 00:59

Der_Denker

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Ah...ich glaube langsam verstehe ich geschockt

Das heißt, ich nehme jetzt mein erstes Polynom
$\begin{eqnarray*} p_{1}=1 \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} v_{1}=p_{1}=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||v_{1}||=1 \end{eqnarray*}$

Nun weiter mit dem zweiten Polynom
$\begin{eqnarray*} p_{2}=X \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} v_{2}=p_{2}-\frac{<p_{2},v_{1}>}{<v_{1},v_{1}>}v_{1}=X-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||v_{2}||=\sqrt{\frac{1}{36}} \end{eqnarray*}$

Jetzt das dritte Polynom
$\begin{eqnarray*} p_{3}=X^2 \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} v_{3}=p_{3}-\frac{<p_{3},v_{2}>}{<v_{2},v_{2}>}v_{2}-\frac{<p_{3},v_{1}>}{<v_{1},v_{1}>}v_{1}=X^2-\frac{12}{5}x+\frac{11}{10} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||v_{3}||=.... \end{eqnarray*}$

Ich habe die letzte Norm mal ausgelassen war viel rechnerei und will dich nicht lange warten lassen wenn du mir schon so gut hilfst smile

Stimmt das bis jetzt so mit der Herangehensweise? (vllt hab ich einen rechenfehler drin am Ende)

12.05.2012, 01:03

Der_Denker

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habe nen Fehler gefunden schonmal... $\begin{eqnarray*} ||V_{2}=\frac{1}{18} \end{eqnarray*}$
Somit stimmt die Folgerechnung auch nicht, aber stimmt die Herangehensweise schonmal so? smile

12.05.2012, 03:29

Der_Denker

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Sorry schonmal für nen trippelpost, aber als unregistrierter kann man leider nicht editieren unglücklich

Also ich hab jetzt mal gründlicher gerechnet und hoffe nun alles richtig berechnet zu haben, hier mal die Lösung:

$\begin{eqnarray*} v_{1}=p_{1}=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||v_{1}||=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{2}=p_{2}-\frac{<p_{2},v_{1}>}{<v_{1},v_{1}>}v_{1}=X-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||v_{2}||=\sqrt{\frac{1}{18}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{3}=p_{3}-\frac{<p_{3},v_{2}>}{<v_{2},v_{2}>}v_{2}-\frac{<p_{3},v_{1}>}{<v_{1},v_{1}>}v_{1}=X^2-\frac{6}{5}X+\frac{3}{10} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||v_{3}||=\sqrt{\frac{1}{300}} \end{eqnarray*}$

Für die Komponenten der ONB gilt somit

$\begin{eqnarray*} b_{1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{2}=\sqrt{18}(X-\frac{2}{3})=3\sqrt{2}(X-\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{3}=\sqrt{300}(X^2-\frac{6}{5}X+\frac{3}{10})=10\sqrt{3}(X^2-\frac{6}{5}X+\frac{3}{10}) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt so jetzt smile

14.05.2012, 08:48

lgrizu

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Jetzt ist deine Herangehensweise auf jeden Fall richtig, ich habe nur v_2 nachgerechnet, da stimmt es. Freude

14.05.2012, 10:27

Der_Denker

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Super, danke für die tolle Hilfe Mit Zunge

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