Krümmung Evolute

12.05.2012, 11:15	latingirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung Evolute Meine Frage: Hallo zusammen! Sitze gerade vor dem Problem, im R^2 die Krümmung einer Evolute einer in Bogenlängenparam. gegebenen Kurve c zu berechnen (außerhalb der Singularitäten). Die allg. Gleichung der Evoluten lautet: $\begin{eqnarray} \bar{c}(t)=c(t)+\frac{1}{k(t)}N(t) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Da die Evolute selbst ja nicht ebenfalls in BLP vorliegen muss, kann ich doch nicht die Gleichung: Krümmung $\begin{eqnarray} k=\|\bar{c}''\| \end{eqnarray}$ verwenden, sondern ich muss doch auf die allg. Formel für die Krümmung zurückgreifen: $\begin{eqnarray} k=\frac{(\dot{c},\ddot{c})}{\|\dot{c}\|^3} \end{eqnarray}$ . Hier liegt nun mein Problem: "Punkt" bedeutet ja Ableitung nach t. "Strich" dagegen Ableitung einer Kurve in BLP. $\begin{eqnarray} \bar{c} \end{eqnarray}$ kann ja nur nach t abgeleitet werden, aber dann darf ich ja nicht die (Frenetschen-)Ableitungsgleichungen etc. auf c anwenden, oder? Ich habe im Internet gefunden, dass die Krümmung von $\begin{eqnarray} \bar{c} \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac{\kappa^3}{\|\kappa'\|} \end{eqnarray}$ ist, wenn $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ die Krümmung von c ist. Wer kann mir weiterhelfen? Ist wirklich sehr dringend... DANKE!
14.05.2012, 10:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Krümmung einer bogenlängenparametrisierten Kurve $\begin{eqnarray} \vec c(s) \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} \kappa=\left \| \tfrac{d\vec c}{ds}\times \tfrac{d^2\vec c}{ds^2}\right \| \end{eqnarray}$ Wenn deine Evolute also mit der Bogenlänge parametrisiert ist, kannst du diese Definition unmittelbar anwenden. Man kann natürlich alle Formeln, welche Ableitungen nach der Bogenlänge s enthalten (z.B. die Frenetschen Formeln), umrechnen auf beliebige Parameter t. Die Geometrie ändert sich dadurch nicht, sondern die Formeln werden in der Regel etwas komplizierter. Hat man also irgendeinen anderen Parameter t, so muss man in obiger Krümmungsdefinition die beiden s-Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec c}{ds} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2\vec c}{ds^2} \end{eqnarray}$ durch die beiden t-Ableitungen $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec c}{dt} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2\vec c}{dt^2} \end{eqnarray}$ ausdrücken. Letztere bilden wir durch 2-maliges Ableiten der verketteten Funktion $\begin{eqnarray} \vec c[s(t)] \end{eqnarray}$ mittels Kettenregel 1.Ableitung: $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec c}{dt}=\tfrac{d\vec c}{ds}\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ 2.Ableitung: $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2\vec c}{dt^2}=\tfrac{d^2\vec c}{ds^2}\left (\tfrac{ds}{dt}\right )^2+\tfrac{d\vec c}{ds} \tfrac{d^2s}{dt^2} \end{eqnarray}$ Umstellen liefert 1.Ableitung: $\begin{eqnarray} \tfrac{d \vec c}{ds}=\tfrac{d\vec c}{dt}/\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ 2.Ableitung: $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2\vec c}{ds^2}=\frac{\frac{d^2\vec c}{dt^2}-\frac{d\vec c}{ds}\frac{d^2s}{st^2}}{\left (\frac{ds}{dt}\right )^2} \end{eqnarray}$ Setzt man letztere beiden Formel in die obige Definition ein, fällt wegen $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec c}{ds}\times \tfrac{d\vec c}{ds}=\vec 0 \end{eqnarray}$ ein Summand heraus, und übrig bleibt die verallgemeinerte Definition der Krümmung für beliebige Parameter t $\begin{eqnarray} \kappa=\frac{\left \|\frac{d\vec c}{dt}\times \frac{d^2\vec c}{dt^2}\right \|}{\left ( \frac{ds}{dt}\right )^3} \end{eqnarray}$ Für t=s erhält man wegen $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\tfrac{ds}{ds}=1 \end{eqnarray}$ wieder die obige Definition, wie es sein muss.

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