Rotationskörper

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Lunatic Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper
Es sei eine Kurve gegeben:



Bestimmén Sie die Oberfläche und das Volumen des zugehörigen Rotationskörper.

Habe dann folgendes geschrieben:

Oberfläche O:



Volumen V:



Habe dann festgestellt, dass für beide der gleiche Wert rauskommt, und zwar das:



Ich war mir zu Beginn etwas unsicher bzgl der Notation in der Aufgabenstellung! Habe es so verstanden:

r(t) = cosh t
h(t) = t

habe ich das vielleicht schon zu Beginn falsch gemacht? Wenn ja, wie ist das sonst gemeint??? oder ist das Ergebnis richtig???

Danke schonmal! Tanzen

edit:
Muss korrigieren!
für Oberfläche:



für Volumen:

Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörper
Passt schon. Wenn du ins Integral einsetzt, kriegst du mit und





Bis auf den Faktor 2 ist es also zufällig das gleiche Integral.
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörper
Müsste für das Rotationsvolumen um die y-Achse hier nicht folgendes gelten:






edit:Syntaxfehler behoben.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

@Harry Done

ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie die Formel genau heißt. Ich bin davon ausgegangen, dass der Threadersteller das aus seinen Unterlagen richtig abgeschrieben hat.

Für das Ergebnis spielt das hier aber keine Rolle, da ist.

Gruß
Calvin, der gerade vergeblich auf der Suche nach den Formeln für rotierende parametrisierte Kurven ist.
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Jo macht hier kein Unterschied.
Wegen der Formel würde ich sagen, dass bei kartesischen Koordinaten ja um die y-Achse gilt:



jetzt braucht man ja nur noch hier einsetzten:



und dann kommt das so raus,ohne ein Quadrat.

Davon mal abgesehen, meine Formelsammlung hat dort ebenfalls kein Quadrat.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt plausibel. Und dank deiner Erklärung weiß ich jetzt auch, wie ich mir die Formel leicht merken kann. Diese Herleitung war mir bislang nicht so bewußt. Danke Freude
 
 
Lunatic Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen!

heißt das nun dass meine formel falsch war??? verwirrt
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, er sprach ja von der Herleitung!



Die Formeln hätte ich auch gerne mal, kann die in keinem Buch finden! Nur die für Rotationskörper "normaler" Funktionen....

Also falls ihr ne Quelle findet, sagt bitte hier bescheid :-)

Oder kann man vieleicht die Parameterdarstellung umrechnen und kommt dann so auf obige Formel?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lunatic
guten morgen!

heißt das nun dass meine formel falsch war??? verwirrt


Ja, deine Formel war falsch. Aber das hat zufällig an deinem Ergebnis nichts geändert.

Hier mal die Zusammenfassung für die parametrisierte Funktion

Rotation um die x-Achse:



Rotation um die y-Achse:



Die Formel für die Mantelfläche habe ich weggelassen. Ich komme mit der gleichen Substitution nicht auf die Formel von oben verwirrt

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. Weder Online noch im Bronstein habe ich eine Quelle gefunden *weitersuch*
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Naja wenn ihr eine Quelle sucht, dann kann ich hier das "Taschenbuch mathematischer Formeln,Bartsch" aus der 5.Aufage S.344 zitieren, wo es heißt:



edit:
und wegen einer Herleitung:
Es gilt allgemein

mit der Parameterdarstellung dann:


und dann integrieren nach t:
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

ichhabe bei besagter Aufgabe weiterhin ein Problem:


Daraus folgt:

Wobei ich t² = u und sinh(t) = v' setze. Das führt dann zu

. Dann setze ich t = u' und cosh(t) = v'.


Das Problem ist ja nun, dass sich der Term auflöst, es bleibt nichts mehr übrig, Ich muss ja nun auf beiden Seiten addieren, und nun bleibt rechts vom Gleichheitszeichen nix mehr stehn.

Was mache ich falsch?
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung von ist nicht das ist dein Fehler!
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ja so doooooof Hammer

aber irgendwie ändert das doch nix, dann steht da immernoch



Da habe ich nix falsch gemacht, nur eben diese 2t nach der ersten partiellen Integration. Doch die Funktion, welche die Ableitung 2t hat ist dann ja wieder t²
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dein Vorgehen nicht ganz nachvollziehen, wieso wendest du nicht einfach zweimal die partielle Integration an.

und jetzt nochmal partiell integrieren und du hast das Ergebnis, natürlich aber indem du t ableitest und nicht integrierst.
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich 2t ableite steht doch unter dem Integral 2. Dort muss aber dasselbe stehen wie ganz am Anfang, also t²
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite partielle Integration würde doch so aussehen.



und dann nur noch einsetzen und zusammenfassen.
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Aso! Ich dachte man muss es immer so machen, dass man das über Addition des urspr. Integrals lösen kann, aber klar du hast REcht. Habe aus den Augen verloren, dass man den Rest dann einfach so integrieren kann!

Meiner Meinung nach muss allerdings die 2 direkt vor das Integral und nicht vor die Klammer!
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

ne ne ist schon richtig so, die 2 habe ich aus dem Integral herausgezogen bevor ich die partielle Integration gemacht habe.
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