Grenzwert von Wahrscheinlichkeitsfolgen

12.05.2012, 14:07	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Wahrscheinlichkeitsfolgen Hallo allerseits, folgende Aufgabe wurde uns gestellt: Es sei $\begin{eqnarray} (\Omega, F, P) \end{eqnarray}$ ein W-Raum. 1. Es sei $\begin{eqnarray} (A_n)_n\in \mathbb N \subset F \end{eqnarray}$ eine Folge von Ereignissen mit $\begin{eqnarray} A_n \cap A_m = \emptyset \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\neq m \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(A_n) = 0 \end{eqnarray}$ --- Was ich mir überlegt habe: Wäre $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ abzählbar, so wären bei einer unendlichen Folge $\begin{eqnarray} (A_n) \end{eqnarray}$ irgendwann sämtliche Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ausgeschöpft. Somit blieben ab einem gewissen $\begin{eqnarray} N_0 \end{eqnarray}$ nur noch leere Mengen, womit sie die Wahrhscienlichkeit von Null erklärt. Nur wie mache ich das für die möglicherweise unendliche Menge Omega? Danke für jede Hilfe!!
13.05.2012, 18:56	drgo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Wahrscheinlichkeitsfolgen der Ansatz scheint mir ins leere zu führen. Besser sollte folgendes gehen: Angenommen, der Limsup der Folge ist a, dann existiert eine Teilfolge, deren Limes a ist, also existiert zu a/2 ein n_0, ab dem alle A_n der Teilfolge eine Wahrcheinlichkeit > a/2 haben. Unendlich viele kann es aber wg. der pw. Disjuktheit nicht geben! Widerspruch. Limsup ist 0, damit der Limes auch. Für genauere Ausführungen fragen Sie jemanden, der sich damit (oder mit Shakespeare) auskennt. :-)
13.05.2012, 19:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgrund der vorausgesetzten Disjunktheit gilt $\begin{eqnarray} 1 \geq P\left( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) = \sum_{k=1}^n P(A_k) =: s_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Die Folge $\begin{eqnarray} (s_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ der Partialsummen ist also nach oben beschränkt (durch den Wert 1) und wegen $\begin{eqnarray} P(A_k)\geq 0 \end{eqnarray}$ auch monoton wachsend in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Folglich ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k) \end{eqnarray}$ konvergent...
13.05.2012, 21:37	drgo	Auf diesen Beitrag antworten »
die Lösung von HAL 9000 ist natürlich wesentlich eleganter...
15.05.2012, 06:42	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank ihr zwei

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