Diffbarkeit zeigen, mehrere Variablen |
| 12.05.2012, 14:16 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Diffbarkeit zeigen, mehrere Variablen
Mich würde wirklich mal interesieren wie ich Diffbarkeit zeigen kann. Wenn ich mich zurück erinnere an die wunderschönen zeiten wo wir abbildungen von R nach R hatten, so musste ich ja nur existenz des Differentialquotienten zeigen. Hier aber bin ich mir nicht so ganz sicher.. Laut der Definition der Diffbarkeit auf der Seite 66 Analysis 2 von Otto Forster muss ich die existenz einer linearen Abbildung A: R^n -> R^m zeigen so dass gilt: f(x + h) = f(x) + Ah + g(h) so weit so gut, aber machen wir es doch an konkretem Beispiel: [attach]24472[/attach] Aufgabe nummer 18: muss zeigen dass f(x,y) diffbar in (0,0) ist, wenn ich alles einsetze habe ich ja f(h)=Ah + g(h) <=> Ah = f(h) - g(h) , wie zeige ich dass A linear ist? ich weiß ja nichts über g(h) außer dass für h->0 g(h)/||h||=0 ist. Wenn das nicht die vorgehensweise sein soll, wie zeigt man noch die diffbarkeit? |
||||||||||
| 12.05.2012, 15:04 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Moin! Ich hab dir das das letzte Mal schon mal gesagt, lade doch bitte die Aufgabe als Screenshot hoch. In einigen Monaten ist die Aufgabe vielleicht nicht mehr online und der Thread nicht mehr lesbar. Ich mach das noch einmal für dich, aber denk bitte dran beim nächsten Mal. Deine Definition ist natürlich richtig, aber dein Weg, zu zeigen, dass A linear ist, ist unglücklich, denn du weißt nichts über g. Deswegen muss man das anders machen und zwar so, dass man als Zweitsemester damit nicht glücklich ist - man muss "sehen", was die Lösung ist. Und mit viel Übung und Erfahrung klappt das irgendwann auch. Ich verrate dir mal was: Es gilt und . Ich halte es für vertretbar, dir das zu sagen, denn rausfinden kann man das ohne Weiteres nicht, man braucht ein Gespür dafür. Übrigens ist das für Diff'barkeit in der 0 immer der erste Ansatz, den du verfolgen solltest (wenn die partiellen Ableitungen nicht existieren. Tun sie es, dann hast du dieses A sofort als Jacobi-Matrix.). Zeige dann mit diesem Wissen mal, was zu zeigen ist. |
||||||||||
| 12.05.2012, 15:28 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hey Cel, schön dass du mir mal wieder aushilfst, aber das Thema ist nicht leicht, von daher bereite dich auf viele doofe Fragen meinerseites 
Damit meinste wohl, ich bin noch nicht im stande so ein beweis algemein zu durchführen auf grund meiner Kenntnisse?
Woher nimmt man das denn bitte? An sich ist das schon sehr wohl klar, dass in meiner gleichung Ah=f(h) - g(h), wenn A die null matrix ist, so sind f und g gleich, aber wieso setzt du A mit nullen voraus?
Du meinst, muss ich diffbarkeit in 0 zeigen, so setze ich meinen Differential erst mal gleich 0? Aber was bringt mir das?
Aber bei meiner Funktion existieren die partiellen Ableitungen doch, ich muss schliesslich zeigen, dass sie beide unstetig in 0 sind.. |
||||||||||
| 12.05.2012, 15:36 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Keine Sorge, Fragen sind gut, denn dann weißt du, was du nicht verstehst. Und das ist viel wert!
Natürlich bist du im Stande, denn sonst würde die Aufgabe nicht auf deinem Zettel stehen. Mit meinen eher mehr als weniger konkreten Tipps wirst du die Aufgabe gut lösen können - nur auf dieses A und g zu kommen, ist sehr schwierig, wenn man gerade mit der Differenzierbarkeit angefangen hat. Man kommt irgendwie nicht alleine drauf, wenn man die Lösung sieht, sagt man: "Klar, JETZT kann ich das auch." Dass es zum Beispiel oft klappt, A=0 und f=g zu setzen, wusstest du vielleicht noch nicht. Jetzt schon und damit dürften viele Aufgaben einfacher werden. |
||||||||||
| 12.05.2012, 15:44 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich fasse mal paar tatsachen dann zusammen: mich stört sehr was du vorhast! Denn, einerseits ist unser A die Jacobi matrix, somit eine 2x1 matirx mit 2 partiellen ableitungen, und diese sind ja nicht 0, du willst aber dass ich A esrtmal mit nur nullen betrachte. Auch wenn ich erst mal das so hinnehme, dass wir unser A so betrachten, es folgt zwar dass g(h)=f(h) ist, doch es hilft uns eignetlich nicht weiter oder? Denn dann ist Ah = diffrenz von zwei nicht linearen Funktionen, f(x,y) ist ja nicht linear wegen dem sinus. Oder machst du das stumpf so: A = (0, 0) matrix, diese ist unsere lineare Abbildung, das würde ja stimmen, somit ist die Existenz von so einem A gezeigt, hiraus folgt f(x,y) ist diffbar in (0,0) Und hier noch paar sachen die du aus dem früheren post nicht beantwortet hast:
Woher nimmt man das denn bitte? An sich ist das schon sehr wohl klar, dass in meiner gleichung Ah=f(h) - g(h), wenn A die null matrix ist, so sind f und g gleich, aber wieso setzt du A mit nullen voraus?
Du meinst, muss ich diffbarkeit in 0 zeigen, so setze ich meinen Differential erst mal gleich 0? Aber was bringt mir das?
Aber bei meiner Funktion existieren die partiellen Ableitungen doch, ich muss schliesslich zeigen, dass sie beide unstetig in 0 sind..[/quote] |
||||||||||
| 12.05.2012, 16:05 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du vergisst etwas wichtiges: Du musst sämtliche Dinge in der Null betrachten! Die partiellen Ableitungen existieren? Auch in der 0? Nur darum geht es. f ist nichtlinear? Auch in der 0? Nur darum geht es. Unser A ist die Jacobi? Nur, wenn die auch existiert! In der 0 tut sie es nicht, dort existieren ja die partiellen Ableitungen nicht. 
Und wie gesagt: A = 0 und f=g klappt oft. Deswegen probiert man das als erstes. Manchmal klappt es auch nicht, klar. Aber eben oft. Und deine Skrupel, das so zu machen, ist genau das, was ich meine: Du verstehst nicht so wirklich, warum ich das so mache, wohl aber, dass es dann klappt. Nur darauf kommt es an.
Ich wähle A = (0,0) und f(x,y) = g(x,y). Dann folgt f(h) = (0,0)*h + g(h) mit g(h)/|h| gegen 0 für h gegen 0. Und damit ist die Differenzierbarkeit gezeigt. Das Differential in der 0 ist (0,0).
Du musst nur noch zeigen, dass g(h)/|h| gegen 0 geht. |
||||||||||
| Anzeige | ||||||||||
|
|
||||||||||
| 12.05.2012, 16:22 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
OOOOOOOOKKKK Also: Da ich ja Diffbarkeit in der (0,0) untersuche, muss ich "sämtliche Dinge in der Null betrachten "CHECK" Bzgl existenz der partiellen ableitungen, so wie du schreibst existieren sie wohl nicht, aber da steht doch f(x,y)=0 für x=y=0, und wenn ich das doch ableite kriege ich wieder 0, sowohl nach x als auch nach y. Frage: existieren sie oder doch nicht? f ist nicht linear, stimmt doch, wenn nicht => zeit Mathe für mich abzuwählen 
, aber in 0, hmm, prüfen wir es doch nach:f(0,0)=0=a0=f(a0,a0) f(0+k,0+l)=f(k,l)+0=f(k,l)+f(0,0) fazit: linear
Ob A Jacobi ist, kA, für mich existieren die ableitungen von 0 ja
Rest des beweises ist ja easy klar. Paar neue sachen habe ich aber gelernt, also solange partielle ableitungen nicht existieren, ist A nicht fest, und kann beliebige matrixen richtigen formats für sie einsetzen, aber darüber unterhalten wir uns gelich noch
g(h)/|h| meinste mit |h| das was ich wohl unter ||h|| verstehe, die eukliedische norm drauf anwenden, richtig? ja ich kann zeigen, dass g(h)/|h| = 0 ist für h gegen 0 . Man bekommt den grenzwert dann lim h->0 sqrt(h1²+h2²)sin(...) und das ist 0 |
||||||||||
| 12.05.2012, 17:10 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok Cel, dass mit 0 ableiten habe ich natürlich scheiße gelabert, machen wirs dann doch per definition: Dxf(x,y)=(f(x+h,y)-f(x,y))/h, das ist die partielle ableitung nach x und in der stelle Null, dann gilt ja Dxf(0,0)=f(h,0)/h=hsin(1/h) und das ist gleich 0 für h -> 0 Somit komme ich zu einem widerspruch, ich habe eignetlich ableitungen in 0 nach x und y und du nicht, wieso? |
||||||||||
| 12.05.2012, 18:16 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe jetzt die ganze Zeit über diese Aufgabe nachgedacht und komme zum Entschluss, dass du dich geirrt hast, als du sagtest dass partielle Ableitungen an der stelle null nicht existiren, weil: (dafür musste ich mein ganzes wissen jetzt zusammen fassen
)1) Vllt errinerst du dich Cel an die folgende Aufgabe Totale Differenzierbarkeit wir zusammen haben bewiesen, dass obwohl die funktion unstetig in (0,0) war, konnte man alle Richtungsableitungen bilden! Für mich heißt das, dass sie unteranderem ja auch partielldiffbar ist, denn für richtungsvektor konnte ja (1,0) und (0,1) betrachten, was ja äquivalent zu partiellen ableitung. Hier wären beide partiellen ableitungen übrigens auch 0 FAZIT: Obwohl eine funktion undiffbar in (0,0) ist (da ja unstetig), kann sie partiell diffbar sein. 2) In dieser Aufgabe, musste ich erst mal die diffbarkeit in (0,0) zeigen. Also kann es doch unmöglich sein, dass wenn sie diffbar ist, dass sie nicht partielldifbar ist, dass würde den implikationen widersprechen: stetig partiell diffbar => diffbar > partiell diffbar. FAZIT:Ist eine funktion diffbar in (0,0) so ist sie auch partielldiffbar in (0,0) Das heißt ich kann meine partielle ableitung nach definition im Punkt (0,0) bilden und diese würden unteranderem meine Jacobi matrix bilden. Somit existiert meine Jacobimatrix im Punkt (0,0) nur das coole ist, für beide ableitungen bekomme ich 0, somit bleibt die Matrix so wie du sie vorgeschlagen hast. Bevor ich aber den Beweis aufschreibe, möchte ich trotzdem, dass du die stellung dazu nimmst, wer hat denn jetzt recht? P.S. Cel ist schon etwas länger weg, vllt kann sich ja jemand anderes dazu äußern? |
||||||||||
| 13.05.2012, 11:56 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast schon recht, ich hatte da immer an die Unstetigkeit der partiellen Ableitungen gedacht, nichtsdestotrotz existieren sie in der 0. Wichtig ist, dass du die partiellen ABleitungen mit der Definition ausrechnest, so wie du es auch gemacht hast. 0 ableiten, gibt 0 ist kritisch. Aber das hast du ja auch selbst schon geschrieben. Deswegen insgesamt also alles richtig! Edit: Nur Vorsicht:
Genau, aber die Funktion hier ist nicht (!) stetig partiell differenzierbar, die (totale) Diffbarkeit kannst du nicht daraus ableiten, sondern musst es mit der Definition machen. Dein f ist nur partiell differenzierbar, nicht stetig. Siehe auch hier. Und nach Definiton heißt: Zauber dir ein A und ein g aus dem Hut, wie gesagt, in der 0 klappt mein Ansatz oft. Wie du siehst, nimmt man hier die Jacobi (die natürlich existiert, weil die partiellen Ableitungen überall existieren) und es funzt. |
||||||||||
| 13.05.2012, 13:28 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Cel, stimmt das, wenn ich keine partielle ableitungen habe, kann ich mir eine beliebige A aussuchen? Gib auch mal beispiel von einer Funktion die nicht mal partiell diffbar ist, das ist ja eigentlich die schwächte Bedingung.. kann mir so eine funktion nicht vorstellen |
||||||||||
| 19.05.2012, 13:20 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nee, nicht beliebig, die Bedingung aus deinem ersten Post muss natürlich erfüllt sein. |
||||||||||
|
|
