Beweis verstehen: Jede stochastische Matrix besitzt den Eigenwert 1...

12.05.2012, 14:52	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis verstehen: Jede stochastische Matrix besitzt den Eigenwert 1... Im Rahmen eines Juniorstudiums besuche ich bereits eine Mathevorlesung, jedoch konnte ich bisher wegen meines Abiturs an einigen Veranstaltungen nicht teilnehmen. Ich versuche nun das Skript nachzuvollziehen, die Schreibweise macht mir noch große Mühe. Es geht um folgenden Satz: Jede stochastische Matrix $\begin{eqnarray} A \in\quad R^{n \times n} \end{eqnarray}$ besitzt den Eigenwert 1 und einen zugehörigen nichtnegativen Eigenvektor $\begin{eqnarray} x \ge 0. \end{eqnarray}$ Ferner gilt $\begin{eqnarray} \left\| \lambda \right\| \le 1 \end{eqnarray}$ für jeden Eigenwert. Beweis: Da alle Zeilen der Matrix $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ Verteilungsvektoren sind, ist $\begin{eqnarray} y = (1, ... , 1)^T \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 von $\begin{eqnarray} A^T. \end{eqnarray}$ Somit besitzt auch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ den Eigenwert 1. Die Existenz eines nichtnegativen Eigenvektors wollen wir hier nicht beweisen; sie folgt später. Sei jetzt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein beliebiger Eigenwert von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (und auch somit auch von $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} y \in \quad R^n \backslash \{ 0 \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^Ty =\lambda y. \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} y_m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|y_m\| = max_{1 \le i \le n} \|y_i\| \end{eqnarray}$ gilt dann : $\begin{eqnarray} \| \lambda y_m\| = \|(A^Ty)_m\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left\| \sum_{i=1}^{n}{a_{im}y_i} \right\| \le \sum_{i=1}^{n}{\|a_{im}y_i\|} = \sum_{i=1}^{n}{a_{im}\|y_i\| \le \|y_m\|}. \end{eqnarray}$ Hieraus folgt $\begin{eqnarray} \| \lambda \| \le 1. \end{eqnarray}$
12.05.2012, 15:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowohl der erste als auch der letzte Schritt basieren auf $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n a_{im}=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , d.h. die Spaltensummen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind sämtlich gleich 1, eine Grundeigenschaft stochastischer Matrizen.
12.05.2012, 16:49	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis verstehen: Jede stochastische Matrix besitzt den Eigenwert 1... $\begin{eqnarray} \|y_m\| = max_{1 \le i \le n} \|y_i\| \end{eqnarray}$ Was bedeutet das?
12.05.2012, 18:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na denk doch mal nach: Die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Werte $\begin{eqnarray} \|y_1\|,\ldots,\|y_n\| \end{eqnarray}$ besitzen ein Maximum, welches von (mindestens) einen von ihnen dann auch angenommen wird - und diese Zeile bedeutet, dass es das Element mit dem Index $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ sein möge.

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