Injektion

25.01.2007, 17:18

Menelaos

Injektion

Ich habe die Definition einer injektiven Abbildung so notiert:

Sei $\begin{eqnarray*} f~:~A \longrightarrow B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.

$\begin{eqnarray*} f~injektiv~\Leftrightarrow [~\forall~a,a' \in A~mit~a \neq a'~:~f(a)\neq f(a')~] \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Und kann man das "mit" durch einen mathematischen Ausdruck ersetzen?

\\ EDIT: Wikipedia hilft.

25.01.2007, 18:12

vektorraum

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RE: Injektion
Hi!

Ich würde ja eher sagen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, genau dann wenn aus $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a') \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=a' \end{eqnarray*}$ ist.

25.01.2007, 18:13

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} | \end{eqnarray*}$ <- mit im sinne von mit der eigenschaft.

beispiel:

die menge aller natürlichen n, die größer als 1 sind könnte man auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} M=\left\{n \in \mathbb N|1<n\right\} \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 21:09

ohcibi

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RE: Injektion

Zitat:

Original von vektorraum
Hi!

Ich würde ja eher sagen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, genau dann wenn aus $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a') \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=a' \end{eqnarray*}$ ist.

is doch genau das selbe was da steht

25.01.2007, 21:37

Frooke

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Nun, einfach die Kontraposition, aber die Dinge sind aussagenlogisch äquivalent.

$\begin{eqnarray*} A\Longrightarrow B \Longleftrightarrow \neg B \Longrightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

EDIT: Danke für die Korrektur, da hatte ich doch die Negationszeichen gesetzt und vergessen, die Buchstaben zu vertauschen Hammer

...

25.01.2007, 23:09

Dunkit

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mir ist die definition von vektorraum auch geläufiger.
Außerdem ist sie meines Erachtens auch leichter zu durchschauen ;-)

26.01.2007, 01:04

ohcibi

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lol die definition von vektorraum..... lustiges wortspiel, musste erst ueberlegen was gemeint is

26.01.2007, 08:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Frooke
Nun, einfach die Kontraposition, aber die Dinge sind aussagenlogisch äquivalent.

$\begin{eqnarray*} A\Longrightarrow B \Longleftrightarrow \neg A \Longrightarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl:
$\begin{eqnarray*} A\Longrightarrow B \Longleftrightarrow \neg B \Longrightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

26.01.2007, 09:52

Menelaos

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Ja, die Definition von vektorraum ist meiner Definition gegenüber äquivalent, nur positiv formuliert. Ich werde mich allerdings trotzdem an seine Defintion halten, da sie für das Beweisen entsprechender Eigenschaften von Abbildungen ihre Vorteile hat.

Danke.

26.01.2007, 15:36

vektorraum

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Zitat:

Original von Dunkit
mir ist die definition von vektorraum auch geläufiger.
Außerdem ist sie meines Erachtens auch leichter zu durchschauen ;-)

Ja ja, die Vektorraum-Axiome Augenzwinkern

Nee, muss auch sagen, wenn ich zeigen soll, dass irgendeine Abbildung injektiv ist, dass da die obige Definition dazu doch eher schlecht geeigenet ist.
Zur Vollständigkeit halber für die ganzen netten Algebraiker kann man injektiv auch zeigen, in dem man zeigt, dass der Kern einer Abbildung nur aus dem neutralen Element besteht Wink

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