Konvergenz einer Reihe

12.05.2012, 15:27	BatistaVK	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Hallo, liebe Freunde der Mathematik, komme diesmal mit einer Aufgabe, bei der ich mir nicht so sicher bin, deshlab wollte ich fragen, ob mein Ansatz zuumindest stimmt, $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \ = \ \binom{2n}{n} \cdot \frac{2n+1}{2^{2n}} \end{eqnarray}$ Ich wollte da mit dem Quotientenregel rangehen, dann sehe mein Ansatz wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \ = \ \left \|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right \| \ = \ \frac{\binom{2n+2}{n+1} \cdot \frac{2n+3}{2^{2n+2}}}{ \binom{2n}{n} \cdot \frac{2n+1}{2^{2n}}} \end{eqnarray}$ Ist dieser Ansatz erst einmal richtig? Rechne dann hier weiter. Danke.
12.05.2012, 15:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig - jetzt noch vereinfachen.
15.05.2012, 08:47	BatistaVK	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke, hier dann ein Versuch: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \ = \ \left \|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right \| \ = \ \frac{\binom{2n+2}{n+1} \cdot \frac{2n+3}{2^{2n+2}}}{ \binom{2n}{n} \cdot \frac{2n+1}{2^{2n}}} \ = \ \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot (n+1)!} \cdot \frac{(2n+3)}{2^{2n \cdot 2^2}} \cdot \frac{ n! \cdot n!}{(2n)!} \cdot \frac{2^{2n}}{2n+1}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!(2n+2)(2n+1)}{(n+1)n! \cdot (n+1)n!} \cdot \frac{(2n+3)}{2^{2n \cdot 2^2}} \cdot \frac{ n! \cdot n!}{(2n)!} \cdot \frac{2^{2n}}{2n+1} \end{eqnarray}$ Und nach dem Kürzen komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \cdot \frac{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)(n+1)} \ = \ \lim_{n \longrightarrow \infty} \longrightarrow 4>1. \end{eqnarray}$ Somit währe die Reihe Divergent nach dem Quotientenkriterium.
15.05.2012, 19:51	Totto-GE	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}=\left\| \cdots \right\| \end{eqnarray}$ ist Humbug. (2) Brüche so untereinander, dass Kürzbares klar ist ! (3) statt 'nach dem Kürzen' ein $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ benutzen (4) $\begin{eqnarray} \dfrac{(2n+2)(2n+3)}{4(n+1)^2}=\lim_{n \to \infty} \end{eqnarray}$ ist Humbug (5) Bruch ist weiter kürzbar (6) tatsächlich $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (\rm{Bruch}) = 1 \end{eqnarray}$ ... also Bruchrechnen schwach (7) Nach dem QK ist das nicht entscheidbar (Schlussfolgerung falsch)

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