grenzwert einer folge

12.05.2012, 15:56

bruno2

grenzwert einer folge

hi,

ich möchte den grenzwert der folge

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt[n]{n^2+5^n+7^n}-4 \end{eqnarray*}$

herausfinden.

kann ich so argumentieren, dass der wurzelausdruck asymtotisch gleich zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{7^n} \end{eqnarray*}$ ist. dadurch erhält man 7-4 = 3 als grenzwert??

grüße

12.05.2012, 16:03

Bjoern1982

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Ja, solltest du nur durch entsprechende Umformungen auch kurz zeigen, dass dem so ist.

12.05.2012, 16:57

bruno2

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wie würde eine solche umformung aussehen?

12.05.2012, 21:41

Bjoern1982

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Klammere die Potenz mit der "größten Wirkung", denn damit erzeugst du wertvolle Nullfolgen.

13.05.2012, 10:22

bruno2

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{7^n(\frac{n^2}{7^n}+(\frac{5}{7})^n+1 ) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7\sqrt[n]{(\frac{n^2}{7^n}+(\frac{5}{7})^n+1 )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{5}{7})^n \end{eqnarray*}$ geht gegen null (geometrische folge), aber was macht $\begin{eqnarray*} (\frac{n^2}{7^n}) \end{eqnarray*}$ ? müsste ja auch gegen null gehen, aber warum? wie zeige ich das?

13.05.2012, 10:50

adiutor62

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Banal gesagt: das n^2 im Zähler hat gegen 7^n keine Chance! Das ist ist Nullfolge ohne gr0ßen Beweis!

13.05.2012, 11:54

bruno2

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ok danke an alle!

13.05.2012, 11:58

Iorek

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Zitat:

Original von adiutor62
Banal gesagt: das n^2 im Zähler hat gegen 7^n keine Chance! Das ist ist Nullfolge ohne gr0ßen Beweis!

Das ist aber eben nur "banal daher gesagt", für einen korrekten mathematischen Beweis reicht das natürlich nicht. unglücklich

Man könnte es z.B. nach oben und unten geeignet abschätzen, und hat dann mit dem Sandwichlemma direkt den Grenzwert nachgewiesen.

14.05.2012, 09:51

Valdas Ivanauskas

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Für eine wasserdichte Argumentation kann man das auch direkt auf die zu untersuchende Folge anwenden, denn offenbar gilt:

$\begin{eqnarray*} 3\leq\sqrt[n]{n^2+5^n+7^n}-4\leq 3+\frac n{7^{n-1}}+\frac{5^n}{n7^{n-1}}. \end{eqnarray*}$

14.05.2012, 10:28

tmo

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Was offenbar nichts daran ändert, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n}{7^{n-1}} \to 0 \end{eqnarray*}$ gezeigt werden muss...

Und das ist kein Gewinn im Vergleich zu $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{7^n} \to 0 \end{eqnarray*}$

14.05.2012, 10:40

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von tmo
Was offenbar nichts daran ändert, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n}{7^{n-1}} \to 0 \end{eqnarray*}$ gezeigt werden muss...

Was aber wegen $\begin{eqnarray*} \frac n{7^{n-1}}\leq \frac 1n \end{eqnarray*}$ ein Leichtes wäre...

Aber eigentlich wollte ich auch eher darauf hinaus einen Weg aufzuzeigen die n-te Wurzel und die eventuell damit verbundenen Unannehmlichkeiten zu beseitigen

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