Berechnung korrekt?

12.05.2012, 16:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung korrekt? Meine Frage: Moin, in einem ersten Teil der Aufgabe sollte ich zeigen, daß im Kontext von Histogrammen $\begin{eqnarray} h_0=\left(\frac{6}{n\left\Vert f'\right\Vert_2^2}\right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ die Bandweite ist, die den integrierten mittleren quadratischen Fehler (asymptotisch) minimiert. Okay, das habe ich schon hinbekommen. Jetzt geht es weiter mit: Bestimme $\begin{eqnarray} h_0 \end{eqnarray}$ für den Fall, daß f eine Mischung aus zwei Normalverteilungen ist, also $\begin{eqnarray} f(x)=0,6\varphi_1(x)+0,4\varphi_2(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \varphi_1 \end{eqnarray}$ die Dichte einer Normalverteilung mit $\begin{eqnarray} \mu=-1,\sigma^2=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi_2 \end{eqnarray}$ die Dichte einer Normalverteilung mit $\begin{eqnarray} \mu=2,\sigma^2=1 \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: An sich muss ich hier doch nur $\begin{eqnarray} \left\Vert f'\right\Vert_2^2 \end{eqnarray}$ bestimmen - oder? Wie groß n ist, steht da ja nicht. Es gilt: $\begin{eqnarray} \left\Vert f'\right\Vert_2^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(f'(x))^2\, dx \end{eqnarray}$ . Also erstmal habe ich versucht, $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ auszurechnen. Da habe ich: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{0,6}{\sqrt{2\pi}}\left(-e^{-\frac{1}{2}}x-e^{-\frac{1}{2}}\right)e^{-\frac{x^2}{2}-x}+\frac{0,4}{\sqrt{2\pi}}\left(2e^{-2}-e^{-2}x\right)e^{2x-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$ Sieht irgendjemand, wie ich das irgendwie zusammenfassen kann, damit ich dann $\begin{eqnarray} (f'(x))^2 \end{eqnarray}$ leichter ausrechnen kann?
13.05.2012, 00:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, ich rechne mir wirklich einen Ast. Ich schreibe es mal ein bisschen ausführlicher hin als im letzten Beitrag. Also die Dichte sieht m.E. folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} f(x)=\underbrace{\frac{0,6}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x+1)^2\right)}_{=:u(x)}+\underbrace{\frac{0,4}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-2)^2\right)}_{=:v(x)} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ versucht auszurechnen. Und zwar: $\begin{eqnarray} f'(x)=u'(x)+v'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left(-\frac{0,6}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\right)x-\frac{0,6}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}-x\right)+\left(\frac{0,4}{\sqrt{2\pi}}2\exp(-2)-\frac{0,4}{\sqrt{2\pi}}\exp(-2)x\right)\exp\left(2x-\frac{x^2}{2}\right) \end{eqnarray}$ Das Monstrum habe ich dann versucht zu quadrieren: $\begin{eqnarray} (f'(x))^2=\left(\frac{0,4}{\sqrt{2\pi}}(x-2)\exp(3x)+\frac{0,6}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2\exp\left(-x^2-2x-4\right) \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich dies ja integrieren, also rechnen: $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty}(f'(x))^2\, dx \end{eqnarray}$ , aber da scheitere ich nun wirklich. Stimmen diese überlangen Rechnungen oder habe ich da irgendwo einen gewaltigen Denkfehler? Das kommt mir alles so unverhältnismäßig unübersichtlich vor.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »