Median Minimum von Betragsfunktion

12.05.2012, 16:49	Steffi88	Auf diesen Beitrag antworten »
Median Minimum von Betragsfunktion Hallo, zu zeigen gilt, dass der Median das Minimum von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \|xi-z\| \end{eqnarray}$ wobei z variabel ist Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (xi-z) \end{eqnarray}$ für xi>z $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (-xi+z) \end{eqnarray}$ für xi>z jeweils nach z abgeleitet bekomm ich -n bzw n raus? Gruß Steffi
12.05.2012, 20:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir mal den Verlauf der Funktion $\begin{eqnarray} f(z) = \sum_{i=1}^n \|x_i-z\| \end{eqnarray}$ für o.B.d.A. aufsteigend geordnete $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ , d.h. also $\begin{eqnarray} x_1\leq x_2\leq \ldots\leq x_n \end{eqnarray}$ : Sie ist stetig, und in den Intervallen $\begin{eqnarray} (-\infty,x_1] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} [x_i,x_{i+1}] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,\ldots,n-1 \end{eqnarray}$ sowie im abschließenden $\begin{eqnarray} [x_n,\infty) \end{eqnarray}$ ist diese Funktion jeweils linear mit sehr einfach berechenbaren Anstieg.

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