Nachvollziehen Spiegelgerade

25.01.2007, 18:52

schreddermadder

Nachvollziehen Spiegelgerade

Huhu!
Könnt ihr mir bitte bitte bitte beim Nachvollziehen der Berechnung einer Spiegelgeraden an einer Ebene helfen!!!
Das wäre fantastique!

Aufgabe:

Gegeben sind Gerade und Ebene und die Gerade soll an der Ebene gespigelt werden!

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: z=3 \end{eqnarray*}$

Nun bis zu der Stelle an der man den Spiegelpunkt ermittelt, kann ich noch alles wunderbar und einwandfrei nachvollziehen!

Der Durchstoßpunkt ist S (1/1/3) und der Vektor PF (0/0/2)

wenn wir den Ortsvektor des zu spiegelnden Punktes nehmen und 2mal den Vektor PF hinzuaddieren, dann kommen wir auf den Spiegelpunkt mit den Koordinaten (1/1/5)

Nun verstehe ich aber überhaupt nicht, wie man auf einmal auf die Spiegelgerade kommt:

$\begin{eqnarray*} g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 19:23

riwe

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RE: Nachvollziehen Spiegelgerade

Zitat:

Original von schreddermadder
Huhu!
Könnt ihr mir bitte bitte bitte beim Nachvollziehen der Berechnung einer Spiegelgeraden an einer Ebene helfen!!!
Das wäre fantastique!

Aufgabe:

Gegeben sind Gerade und Ebene und die Gerade soll an der Ebene gespigelt werden!

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: z=3 \end{eqnarray*}$

Nun bis zu der Stelle an der man den Spiegelpunkt ermittelt, kann ich noch alles wunderbar und einwandfrei nachvollziehen!

Der Durchstoßpunkt ist S (1/1/3) und der Vektor PF (0/0/2)

wenn wir den Ortsvektor des zu spiegelnden Punktes nehmen und 2mal den Vektor PF hinzuaddieren, dann kommen wir auf den Spiegelpunkt mit den Koordinaten (1/1/5)

Nun verstehe ich aber überhaupt nicht, wie man auf einmal auf die Spiegelgerade kommt:

$\begin{eqnarray*} g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also bei mir ist der durchstoßunsgspunkt S(1/-1/3) und F(1/1/2), daher
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit bekommst du
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{PF}\to P_1(1/1/4) \end{eqnarray*}$
und damit den richtungsvektor der gespiegelten geraden
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\overrightarrow{SP_1} \end{eqnarray*}$
und damit

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

abgesehen von den zahlen, jetzt klarer verwirrt

werner

26.01.2007, 10:58

shreddermedda

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huhu

Joa, es ist etwas klarer...
aber jetzt bin ich mir in einigen Punkten nicht ganz sicher:

für meine Spiegelgerade kann ich doch dann auch den Vektor (1/1/5) (bzw. bei dir (1/1/4) ) als Stützvektor nehmen, oder nicht?!

Dann nochmal zu dem Schnittpunkt...wir haben das so gemacht und ich ich fande das auch sehr nachvollziehbar...

Ebene in Normalenform und Gerade in Parameterform hab ich ja angegeben...
und da haben wir einfach die z-Ebene der Parameterform der Geraden in die Normalenform eingesetzt, so dass dann rauskam:

1+w=3
--> w=2

und dann w in die Parameterform eingesetzt ergibt schließlich den Schnittpunkt (1/1/3)....aber du hast schon recht, dass er S(1/-1/3) heißen müsste...nur sehe ich den Fehler in dieser Rechnung einfach nicht verwirrt

26.01.2007, 15:49

riwe

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du kannst jeden beliebigen punkt der geraden benutzen, um den stützvektor zu basteln.

und beim schnittpunkt hast du doch

w = 2
und damit die y-koordinate
y= 1 - w = 1 - 2 = -1

werner

28.01.2007, 12:57

schreddermedder

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Wir haben da aber gerechnet:

$\begin{eqnarray*} gPF: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + w\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit:

$\begin{eqnarray*} gPF: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2*\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so dass dann halt schließlich:

$\begin{eqnarray*} \vec{xs} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rauskommt!

Aber das ist dann wohl so falsch, was?

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