Funktion angeben, die bestimmte Bedingungen erfüllt |
| 12.05.2012, 23:00 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktion angeben, die bestimmte Bedingungen erfüllt Aufgabe: Geben sie mindestens eine Funktion an, die 1. ganzrational vom Grad zwei ist und genau ein lokales Minimum besitzt, 2. ganzrational vom Grad vier ist und genau ein lokales Maximum aufweist, 3. unendlich viele Minima hat, 4. keine Extremstellen bestizt. Ansatz: Zu 1. allg: ax^2 + bx + c Leider weiß ich gar nicht von was es innerhalb einer Funkton abhängt, wie viele Extremstellen es gibt. Ich habe nur gelesen, dass der höchste Grad einer ganzrationalen Funktion angibt, wie viele Extremstellen möglich sind. Warum das so ist, weiß ich leider auch nicht. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen? Danke. 
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| 12.05.2012, 23:09 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gehst du denn sonst an eine Extremstellenbestimmung ran? Bedenke diese Kriterien auch hier 
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| 12.05.2012, 23:12 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Funktion angeben, die bestimmte Bedingungen erfüllt Kennst du den Graphen einer (Normal-)Parabel? Ansonsten: Eine (nichtkonstante) gazrationale Funktion vom Grad n hat bis zu n-1 Extrema. (das kannst du dir mit dem Fundamentalsatz der Algebra und dem Grad der Ableitung überlegen) Eine vom Grad zwei also maximal eines; dieses hängt vom Vorzeichen vor dem Quadrat ab. Zu 2.: Wenn du in 1. eine möglichst einfache Funktion gefunden hast, kannst du die einfach quadrieren. Zu 3.: Beachte, dass die Bedingung für ein Minimum nicht ausschließt, dass in der Umgebung auch gleich große Werte auftreten. So kannst du eine ganz besonders einfache Funktion finden. Zu 4.: Benutze die Angabe von oben. mfg, Ché Netzer |
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| 12.05.2012, 23:24 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Equester 1.Ich bilde die ersten beiden Ableitungen. 2. Setze die erste Ableitung 0. 3. Setze die erhaltenen Werte in die 2.Ableitung um zu bestimmen ob es eine Extremstelle ist oder nicht. Nun habe ich mich dank Che Netzer daran erinnert, das x^2 eine Funktion ist mit genau einem lokalen Minimum. Aber wie hätte ich das jetzt rechnerisch gemacht? ax^2 + bx + c abgeleitet und gleich 0 gesetzt oder wie? Zu 2: Okay, verstanden. Zu 3: Habe ich leider noch immer nicht verstanden und dementsprechend 4 auch nicht.. :/ |
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| 12.05.2012, 23:32 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Es ist wichtig was bei 3. rauskommt. Da findest du nämlich raus, ob wir es mit einem Minimum oder einem Maximum zu tun haben. f(x)=x² wäre hier schonmal richtig 
.3. Nimm Abstand von Polynomen und schaue dich nach etwas anderem um. Was hat den regelmäßig Minima (bzw. Maxima)? 4. Das ist nun wirklich nicht schwer
. |
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| 12.05.2012, 23:44 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 3: Die Sinus bzw. Cosniuskurve? also f(x) = sin x Zu 4: f(x) = 0? |
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| 12.05.2012, 23:58 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ist richtig
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| 13.05.2012, 00:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht ganz, die Nullfunktion hätte ich bei 3., nicht bei 4. genannt. |
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| 13.05.2012, 00:18 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, die Nullfunktion ist in der Tat nicht die beste Funktion, sehe aber nicht, warum sie für 4. nicht gelten sollte 
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| 13.05.2012, 00:25 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt der Graph von f(x) = 0 besitzt auch unendlich viele Minima? Aber die 2.Ableitung ist doch 0? Also ist es doch kein Extrempunkt? |
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| 13.05.2012, 00:35 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe das wie du. Zumal man ja kaum von extrem sprechen kann, wenns keinen Funktionswert gibt, der mal drüber bzw. drunter ist. Da ich mich aber mit den Notationen nicht so auskenne (und es gar nicht will), sollten wir auf Che Netzers Antwort abwarten. Auf der sicheren Seite bist du mit einer beliebig anderen konstanten Funktion
. f(x)=1. |
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| 13.05.2012, 00:47 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Minimum (bzw. Minimalstelle) ist dadurch defininiert, dass eine Umgebung der Stelle existiert, sodass in dieser Umgebung keine kleineren Werte angenommen werden: Sei gegeben: (in diesem Fall ist und ) Das ist für konstante Funktionen offenbar immer der Fall. Würde man das nicht zulassen, gäbe es stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen, die keine Extrema haben. Die Bedingungen über Ableitungen sind für Extrema keineswegs notwendig, nur hinreichend. |
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| 13.05.2012, 12:51 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, das heißt dann das es sowohl unendlich viele Minima wie auch Maxima z.B. in der Funktion f(x) = 42 gibt, jedoch nicht unendlich viele Wendepunkte, da es keinen Wechsel von einer Links zu einer Rechtskurve( oder andersrum) gibt. Eine Frage noch: Das mit dem Fundamentalsatz der Algebra habe ich nicht ganz verstanden.. 1.Wieso hat eine Funktion 4.Grades maximal 4 Nullstellen? Bei der Ableitung wird der Grad ja um 1 veringert deshalb kann es nur maximal 3 Nullstellen geben bzw. 3 Extrempunkte, aber ich verstehe nicht warum es max. 4 Nullstellen gibt bei einer Funktion 4.Grades. 2.Und hat ein gerader bzw. ungerader Exponent eine unterschiedliche Auswirkung auf die Extremstellen? |
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| 13.05.2012, 13:09 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wendestellen liegen tatsächlich auch wieder überall vor
Für konstante Funktionen ist also JEDE Stelle Minimal-, Maximal- UND Wendestelle. Womit hast du denn das Problem beim Fundamentalsatz? Dass die Ableitung vom Grad 3 höchstens 3 Nullstellen hat, siehst du ein, aber nicht, dass ein Polynom vom Grad 4 höchstens 4 Nullstellen hat? Ansonsten kannst du ein Polynom ja in Linearfaktoren zerlegen; da siehst du dann deine Nullstellen. Die Anzahl der Linearfaktoren (in ) entspricht natürlich dem Grad des Polynoms. Und was meinst du mit dem geraden/ungeraden Exponenten? Welcher soll gerade/ungerade sein? Der höchste? Polynome mit geradem Grad haben mindestens eine Extremstelle, sonst lässt sich da nichts aussagen. |
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| 13.05.2012, 13:24 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja gerade das mit den Linearfaktoren verstehe ich nicht. Wie soll ich z.B. diese Funktion in Linearfaktoren zerlegen: |
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| 13.05.2012, 13:33 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gar nicht
Du sollst nur wissen, dass es zu jedem Polynom in eine Darstellung mit Linearfaktoren gibt. |
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| 13.05.2012, 13:40 | blu3.Eye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, das reicht dann also schon als Begründung. Okay, vielen Dank dir Che Netzer und auch Equester
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