Unklare Aufgabe

12.05.2012, 23:43

ganzruhig

Unklare Aufgabe

Guten Abend Wink

Die Aufgabe lautet
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Ehrlich zugegeben habe ich sie so gut wie nicht verstanden, von daher bitte ich euch jede Frage mit ja oder nein, vllt auch einer Erläuterung zu beantworten:

1) Es wird eine "Funktion" (bin mir hier nicht sicher) s(a,b) definiert als Menge aller a+tb die, die Bedingung t element I erfüllen. Doch die menge ist doch unendlich groß ; Betrachte ich allein schon s(a,b) für feste a,b dann ist die menge hier schon unendlich, da t aus [0,1[ kommt und dann ist diese unendliche Menge meine strecke......
Zusammenfassung: Strecke von a nach b ist eine unendliche menge von elementen {a; a+0,1b; a+0,01b; .... ; a+0,99999...9b; ...}, korrekt? Wenn ja, wie stellt man es sich vor?

2) "Für eine endliche disjunkte Vereinigung A=*** von Strecken" hier habe ich Frage zur Formulierung, wieso steht "disjukte" genau dort wo es steht? Ist damit eher gemeint, dass die strecken disjunkt sind? "disjunkt" bedeutet, dass 2 oder mehr Mengen keine gemeinsame Elemente haben. Ich nehme an "Für eine endliche disjunkte Vereinigung A=*** von Strecken" ist äquivalent zur Aussage ""Für eine endliche Vereinigung A=*** von disjunkten Strecken" korrekt?

3) Jetzt wird T definiert, T^0(I)=I ; T(I)=T(I) ; T²(I)=T(T(I)) ; etc.. ich kann wohl T als Funktion sehen die ein Intervall auf T(I) abbildet, ergibt für mich wenig Sinn, weil das ja wie dauerschleife ist. DIeses T kommt aber kurz davor oben, wo es auf eine Strecke angewendet wird, also T(eine unednliche menge an zahlen) wird wohl was?

Über zu zeigen brauchen wir noch gar nicht zu reden Big Laugh

13.05.2012, 11:19

Elvis

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Das fühlt sich an wie eine Koch Kurve. http://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve Man fängt mit einer Strecke an und setzt dann immer auf das mittlere Drittel der Strecke ein gleichseitiges Dreieck und schneidet das mittlere Drittel der Strecke heraus, ...

13.05.2012, 13:32

ganzruhig

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Hey Elvis, danke zwar für deine Antwort, aber so werden wir nicht voran kommen.. Können Sie vllt wie gesagt erst mal meine Fragen beantworten? Ich muss wirklich verstehen womit ich arbeite..

Haben Sie an Koch kurve wegen dem wort nicht rektifizierbar gedacht?

P.S. Cel, du bist auch sehr in diesem Thread willkommen Augenzwinkern

13.05.2012, 16:50

Elvis

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1) s(a,b) ist das Bild der Funktion $\begin{eqnarray*} s:I\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ , das ist die Strecke von a nach a+b. Klar hat eine Strecke von a nach a+b genau so viele Punkte wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , jedenfalls für b ungleich 0 .

2) Die Vereinigung A von Strecken muss disjunkt sein, damit T(A) disjunkt sein kann. $\begin{eqnarray*} P\in s(a,b)\cap s(c,d)\Rightarrow T(s(a,b))\cap T(s(c,d))\neq \{\} \end{eqnarray*}$ .
Wenn sich zwei Strecken in einem Punkt schneiden, müssen sich auch die Streckenzüge von a nach b und c nach d schneiden (Stetigkeitsargument ?).

3) Die Aufgabe ist ein bißchen unsinnig gestellt.
T wird nur auf I rekursiv angewandt, wobei das Intervall als Strecke von 0 nach 1 angesehen werden kann, das Ergebnis ist die Koch-Kurve.
Nach der mühsamen Vorbereitung (siehe 1) und 2)) wäre es sinnvoller, T rekursiv auf eine disjunkte Streckenmenge A anzuwenden.

Anmerkung: Die Aufgabe ist zudem noch schlampig formuliert, denn s(a,b) ist nicht die Strecke von a nach b sondern die Strecke von a nach a+b. Ich schlage vor, die Definition der Abbildung T genauer zu untersuchen, vielleicht stecken da noch weitere unsaubere Formulierungen drin ? Meine Intuition sagt mir, dass T richtig formuliert ist ...

13.05.2012, 17:17

ganzruhig

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Sehr gut Elvis, dann verdeutlichen wir die Aufgabe mal weiter, also die s(a,b) habe ich wohl nicht missverstanden, als Sie sagten:

Zitat:

s(a,b) ist nicht die Strecke von a nach b sondern die Strecke von a nach a+b.

Meinen Sie bestimmt bis a+0.(9)b denn 1 ist nicht im Intervall drin, korrekt?

Zitat:

Die Vereinigung A von Strecken muss disjunkt sein, damit T(A) disjunkt sein kann

Die begründung ist aber wackalig und ich habe eignetlich was anderes gefragt. Ich fragte ob A die vereinigung von disjunkten strecken sei. Und woher nehmen Sie bitte die tatsache, dass T disjukt sein muss?

Zitat:

T wird nur auf I rekursiv angewandt, wobei das Intervall als Strecke von 0 nach 1 angesehen werden kann, das Ergebnis ist die Koch-Kurve.

Sie sind mir deutlich in Vorstellungskraft überlegen, weil ich es so daraus nicht ablesen kann..
Ist meine rekursive darstellung etwa falsch?
Jetzt wird T definiert, T^0(I)=I ; T(I)=T(I) ; T²(I)=T(T(I)) ; etc..
Wenn richtig, wieso sehen Sie eine Koch kurve darin?

13.05.2012, 23:56

HAL 9000

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In die Aufgabenstellung hat sich ein ärgerlicher Patzer eingeschlichen:

Zitat:

sei $\begin{eqnarray*} s(a,b) := \left\{ a+tb \bigm| t\in I \right\} \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Strecke von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

Tatsächlich wird die Strecke von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ (inklusive Startpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , exklusive Endpunkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ) durch

$\begin{eqnarray*} s(a,b) := \left\{ a+t(b-a) \bigm| t\in I \right\} \end{eqnarray*}$

beschrieben! Und ich denke, so ist es auch gemeint, nur dann ist alles hinsichtlich der Schneeflockenkurve stimmig definiert. Im Lichte dieser korrigierten Version wird Elvis auch sicher diese Aussage

Zitat:

Original von Elvis
das ist die Strecke von a nach a+b.

zurücknehmen, die er mit gutem Recht aus der falschen s(a,b)-Formel abgelesen hat.

14.05.2012, 11:48

ganzruhig

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wow HAL

heute kam korrigierte version der aufgabe:
"(Bem.: Korrektur bei Aufgabe 20 gegenüber erster Version:
In der Definition von s(a,b) muss (b-a) stehen, nicht b.) "

Und dann steht s(a,b) genau wie du sie definiert hast.

HAL, kA wie du das machst, aber du hast wohl durchblick bei dieser Aufgabe Gott

könntest du vllt mich bei der Lösung leiten?

Meine erste Frage wäre bei der neuen definition, ist b element dieser Menge oder nicht? eigentlich ja nicht, denn t kann maximal 0,(9) als wert erreichen

14.05.2012, 11:51

HAL 9000

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Im Fall $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ gehört $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ definitiv nicht zu $\begin{eqnarray*} s(a,b) \end{eqnarray*}$ , so wie ich es hier

Zitat:

Original von HAL 9000
Tatsächlich wird die Strecke von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ (inklusive Startpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , exklusive Endpunkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ) durch

$\begin{eqnarray*} s(a,b) := \left\{ a+t(b-a) \bigm| t\in I \right\} \end{eqnarray*}$

beschrieben!

auch schon erwähnt habe.

14.05.2012, 12:04

ganzruhig

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Jep, tut mir leid, überlesen

"Für eine endliche disjunkte Vereinigung A=*** von Strecken" hier habe ich Frage zur Formulierung, wieso steht "disjukte" genau dort wo es steht? Ist damit eher gemeint, dass die strecken disjunkt sind? "disjunkt" bedeutet, dass 2 oder mehr Mengen keine gemeinsame Elemente haben. Ich nehme an "Für eine endliche disjunkte Vereinigung A=*** von Strecken" ist äquivalent zur Aussage ""Für eine endliche Vereinigung A=*** von disjunkten Strecken" korrekt?

die frage vom ersten Post hätte noch geklärt

Ihr beide erkennt in der definition von T(s(a,b)) die koch kurve, weil sie ja jede strecke als vereinigung von 4 kleineren strecken darstellt, die untereinander gemeinsamen Punkt haben. Aus der definition ist aber schwer zu entnehmen dass die strecke immer länger/detalierter wird (für mich)

14.05.2012, 12:50

HAL 9000

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Naja, das ist so eine übliche alternative Formulierung:

Mit "disjunkte Vereinigung der Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ " ist dasselbe gemeint wie "Vereinigung paarweise disjunkter Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ".

Zitat:

Original von ganzruhig
Ihr beide erkennt in der definition von T(s(a,b)) die koch kurve, weil sie ja jede strecke als vereinigung von 4 kleineren strecken darstellt, die untereinander gemeinsamen Punkt haben.

Den letzten Halbsatz verstehe ich nicht - meinst du nicht eher "die untereinander keinen gemeinsamen Punkt haben". verwirrt

14.05.2012, 13:09

ganzruhig

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wirklich? Guck doch

s(a,a+(b-a)/3) und das nächste startet mit s((b-a)/3,............)

Aber wenn jetzt bedenke dass t nicht 1 sein kann, haben sie somit keine gemeinsame Punkte.. ok :-)

Na gut, wir können dann mit dem Lösen der Aufgabe anfangen Freude

Ich muss zeigen, dass T^n(I) die Bildmenge der fn: I -> T^n(I) ist

An sich, passiert ja folgendes, T wird n mal auf unser Intervall I angewendet, dabei kann ich Intervall doch als Strecke sehen? s(0,1)=I oder? Somit eigentlich kein widerspruch zu definition. Nach dem ersten anwenden von T auf I wird unsere strecke länger, weil man gleichschenkligen dreieck (ohne grundseite) in die mitte plaziert.

Zusammengefasst: f ist funktion die eine strecke auf eine andere strecke abbildet mit hilfe der anderen funktion T, welche nicht linear ist, oder hat sie eine Abbildungsmatrix (tut zwar nichts zur Sache)? Und nun muss ich halt zeigen dass T^n(I) die Bildmenge ist, was ja total klar ist, aber wie beweise ich es?

14.05.2012, 13:39

HAL 9000

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Dass die Anwendung von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf einen Streckenzug wieder einen Streckenzug ergibt, ist eigentlich nichts, was besonderen Aufwand erfordert, da ändert sich auch bei der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fachen Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray*} T^n \end{eqnarray*}$ nichts. Ich sehe den Fokus hier auch eher darin zu beweisen, dass sich der entstehende Streckenzug $\begin{eqnarray*} T^n(I) \end{eqnarray*}$ nicht irgendwo kreuzt, und dieser Nachweis ist durchaus nicht trivial.

14.05.2012, 14:17

ganzruhig

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kannst du mir sagen was ich nachlesen soll, damit ich diese aufgabe bewältige? ana 2 forster ist ja keine große hilfe

Die würden sich nicht kreuzen genau dann, wenn sie keine gemeinsame Punkte haben, und das muss ich zeigen? Also ihre disjukntheit

14.05.2012, 15:31

HAL 9000

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Nicht alles geht mit nachlesen, manchmal muss man auch eigene Ideen dazu entwickeln. Grundsätzlich gilt, dass du dir ein paar Skizzen zum Problem machen solltes - zumindest mir geht es so, dass ich das Problem hier in Gänze erst durch die geometrische Anschauung tiefer verstehe.

Ich würde etwa für diese Frage des Nichtkreuzens mit irgendwelchen "Hüllflächen" argumentieren, z.B. bietet sich für $\begin{eqnarray*} s(a,b) \end{eqnarray*}$ da das Dreieck

$\begin{eqnarray*} \triangle(s(a,b)) := \operatorname{conv}\left( a,b,a+\frac{1}{3}(b-a)+\frac{1}{3}(b-a)e^{i\frac{\pi}{3}} \right) \setminus \{ b \} \end{eqnarray*}$

(conv steht für "konvexe Hülle") an. Entsprechend sei $\begin{eqnarray*} \triangle(A) \end{eqnarray*}$ für einen Streckenzug $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gleich der Vereinigung der Hülldreiecke der einzelnen Strecken. Trivial zu sehen ist die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} A\subseteq \triangle(A) \end{eqnarray*}$ für alle Strecken bzw. Streckenzüge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Nun erkennt man (z.B. durch eine Skizze) aber auch die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \triangle(T(s(a,b))) \end{eqnarray*}$ eine Vereinigung der vier disjunkten (!) Teildreiecke

$\begin{eqnarray*} \triangle\left(s\left(a, a+\frac{1}{3}(b-a) \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \triangle\left(s\left(a+\frac{1}{3}(b-a), a+\frac{1}{3}(b-a)+\frac{1}{3}(b-a)e^{i\frac{\pi}{3}} \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \triangle\left(s\left(a+\frac{1}{3}(b-a)+\frac{1}{3}(b-a)e^{i\frac{\pi}{3}}, a+\frac{2}{3}(b-a) \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \triangle\left( s\left(a+\frac{2}{3}(b-a), b \right) \right) \end{eqnarray*}$

ist und dass zudem $\begin{eqnarray*} \triangle(T(s(a,b)))\subseteq \triangle(s(a,b)) \end{eqnarray*}$ gilt. (*)

Diese Inklusionseigenschaft (*) ist der Dreh- und Angelpunkt eines möglichen Beweises für das Nichtkreuzen.

EDIT: Zur Illustration der Idee mal ein paar Postscripts zu $\begin{eqnarray*} T^0(I)\ldots T^7(I) \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} \triangle(T^0(I))\ldots \triangle(T^5(I)) \end{eqnarray*}$ :

[attach]24495[/attach]

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