Abstand zwischen Funktion und Umkehrfunktion |
| 25.01.2007, 19:01 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abstand zwischen Funktion und Umkehrfunktion Berechnen sie den kleinsten Abstand zwischen den Graphen. Ich hatte ja gedacht das man die Funktionen voneinander abzeiht und so den Abstand definiert. Und mit der ersten Ableitung dann das Minimum suchen. Aber gilt das nicht nur für den senkrechten Abstand. Der kleinste Abstand kann doch auch schräg im Kosy liegen. Also wer von euch hat da ma nen guten Tipp für mich? Danke, Tobiatsch  http://www.directupload.net/images/070125/CMQa7iCR.jpgEDIT von Calvin LaTeX: mehr als ein Zeichen im Exponent mit ^{...} machen |
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| 25.01.2007, 19:11 | Das Binom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich denke der kleinste Abstand ist von Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt und dann könntest du über Satz von Pythagoras da ran gehen! |
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| 25.01.2007, 19:21 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man sich die Zeichnung anschaut, dann ist der Abstand Scheitel-Scheitel vermutlich nicht der kürzeste. Der Ansatz mit der Differenzfunktion ist (wie du schon selbst festgestellt hast) nur der senkrechte Abstand. In welche Klasse gehst du denn? Spontan sehe ich eine Möglichkeit mit einer Funktion mit 2 Variablen. Aber das übersteigt leider das Schulniveau. |
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| 25.01.2007, 19:23 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mhm ich finde der Abstand der Abstand wird erstma kleiner wenn man rechts vom scheitelpunkt langfährt also kann der es ja wohl nich sein?? |
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| 25.01.2007, 19:25 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry für Doppelpost, muss mich mal registrieren damit ich editieren kann.... Bin 12te. Sollte doch eigentlich ne ganz normale Extremwetaufgabe sein. Aber schwebt dir denn vor mit 2 Variablen? |
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| 25.01.2007, 19:40 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde meine Idee hier nicht durchziehen. Sie ist sicher richtig, aber es ist nicht angenehm zu rechnen. Außerdem ist es nicht mehr Stoff der 12. Klasse. Es muss also entweder anders gehen, oder die Aufgabe ist tatsächlich so, wie du es im ersten Posting gemacht hast. Wie lautet denn der exakte Wortlaut der Aufgabe? Ist das der von oben? |
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| 25.01.2007, 19:44 | Das Binom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn es mit extremwerten sein soll steht doch der minimale Abstand für lokales Minimum vielleicht kommst du damit weiter |
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| 25.01.2007, 19:48 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ha, ich habs. Die beiden Kurven sind spiegelsymmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden. Der kürzeste Abstand ist also gleichzeitig der kürzeste Abstand zur Winkelhalbierenden. Hast du eine Idee, wie du diesen Abstand berechnen könntest bzw. welcher Punkt den kleinsten Abstand zur ersten Winkelhalbierenden hat? Damit geht es 
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| 25.01.2007, 19:54 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Ist das eine reguläre Hausaufgabe? Oder schon Abi-Vorbereitung für den Teil mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad? 
Zuerst einmal ist festzuhalten, dass der minimale Abstand der Funktionen dem doppelten Abstand von einer Funktion zu der Geraden y=x entspricht. Denn als Umkehrfunktionen ist das ja quasi ihre Spiegelachse. So lässt sich das ganze schon mal angenehmer betrachten, denke ich. Gesucht ist also der minimale Abstand von den Funktionen f(x) und g(x)=x. Und je mehr ich drüber nachdenke, desto eher neige ich dazu, ein wenig auf die Vektorrechnung zurückzugreifen. WIe genau, weiß ich aber noch nciht. 
Grüße! Edit: Na da hat wohl Calvin die gleiche Idee gehabt, aber scheinbar weiß er, wie's weitergeht. |
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| 25.01.2007, 19:56 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mhm hilft mir jetzt direkt nicht weiter. Der Abstand zu der Geraden oder zu der anderen Funktion. Wo is da vom Rechenweg der Unterschied? Komm ich auf keinen besseren Ansatz. Die Idee hatte ich schonma verworfen ;-) |
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| 25.01.2007, 20:03 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Unterschied ist, dass die Winkelhalbierende eine Gerade ist. Wenn du den Abstand eines einzelnen Punktes zur Gerade bestimmst, dann ist immer ein rechter Winkel zwischen der Gerade und der Verbindungsstrecke (hoffentlich nicht zu kompliziert ausgedrückt
)Anschaulich wird die Aufgabe so gelöst, dass du eine senkrechte zur Winkelhalbierenden solange verschiebst, bis sie die Kurven senkrecht schneidet. Ist nur eine kurze und einfache Rechnung
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| 25.01.2007, 20:16 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das habe ich mittlerweile auch raus, aber müsste man dieses "anschaulich" nicht noch irgendwie begründen? Die Aufgabe klingt ja deutlich nach Extremwertaufgabe, aber ich komme komplett ohne Extrempunktbetrachtungen aus. Ich war jetzt schon drauf und dran, den Abstand von Tangente und Winkelhalbierender in Abhängigkeit von ihrem Schnittwinkel anzugeben um dann 0° als Ergebnis für das Minimum zu erhalten, also Parallelität. Aber das erscheint mir dann auch irgendwie wieder zu kompliziert gedacht. Lange Rede, kurzer Sinn: Ich erhalte Abstand von Funktion und Umkehrfunktion=0,75 (Und jetzt hoffe ich mal, ich habe mich nicht verrechnet) |
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| 25.01.2007, 20:33 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhm aus dem fett geschriebenen "rechten Winkel" erkenne ich einen hinweis auf den satz des pythagoras. und nun? |
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| 25.01.2007, 20:35 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich etwas anderes, und zwar @Tobiatsch (btw Hi Namensvetter
)Zur Bestimmung des Abstands brauchst du dann Pythagoras. Aber zunächst geht es darum, die beiden Punkte zu bestimmen, die den kürzesten Abstand zueinander haben. Welche Steigung hat denn die Winkelhalbierende? Welche Steigung hat die Senkrechte dazu? Welche Steigung muss an den beiden Punkten sein, die den kürzesten Abstand zueinander haben? |
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| 25.01.2007, 20:45 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhm also steigung der winkelhalbierenden ist 1, der senkrechten dazu ist -1 und ich nehme mal an das die steigung in den punkten auch 1 sein muss? |
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| 25.01.2007, 20:46 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja 
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| 25.01.2007, 20:50 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das meinte ich doch
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| 25.01.2007, 20:50 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann bekomme ich als Punkte P1=(1,25/0,5) und P2=(0,5/1,25) |
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| 25.01.2007, 20:50 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ebenfalls richtig
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| 25.01.2007, 21:01 | Tobiatsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na denn mit satz des pythagoras noch schnell die strecke ausgerechnet: So das scheint ja dann richtig zu sein......scheiß Aufgabe Vielen Dank an meinen Namensvettern und den Schmonk |
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| 25.01.2007, 21:06 | ohcibi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso nicht vektorrechnung? die koordinaten der beiden punkte ergeben sich durch und jetz kann man ja den vektor AB bestimmen und dessen laenge berechnen, womit man ja wieder eine funktion haette, von der man das minimum berechnen kann, alles mit schulmathematik, oder hab ich da jetz zu eilig gedacht? tja dann wohl zu eilig gedacht 8-)) |
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| 25.01.2007, 21:19 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nunja, das gibt dann aber eine ziemlich häßliche Funktion, mit erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit undeventuell wird's wirklich unangenehm, wenn du dann die Nullstellen suchst. Ausserdem hast du 2 Variablen, nämlich und . Das ist keine Schulmathematik. Ich habe es mit einer Art Mischung aus Vektorrechnung und Analysis betrachtet, aber zum erklären, war das nicht wirklich geeignet. Sicherlich gibt es auch noch weitere Lösungswege. Grüße |
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