Harmonische Funktion Realteil einer holom. Fkt |
13.05.2012, 11:55 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Harmonische Funktion Realteil einer holom. Fkt Hallo zusammen, folgende Aufgabe beschäftigt mich: Sei G ein Gebiet (offen und zshgd), harmonisch. Dann gibt es eine holomorphe Funktion mit F=Re(f). Meine Ideen: leider fehlt mir im Grunde der komplette Ansatz. Wie kann ich mir denn eine holomorphe Funktion konstruieren? Ich weiß, diese muss die Cauchy-Riemann-DGL erfüllen - aber ich weiß ja nichts von dem entsprechenden Imaginärteil... Könnt ihr mir helfen? |
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13.05.2012, 12:13 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Übersetze doch mal "F harmonisch", was heißt das? Bedenke, dass G eine Teilmenge des IR² bzw. von C ist. Weiterhin: Stelle die Cauchy-Riemann-DGL auf und leite die beiden ab, so dass du jeweils da stehen hast. |
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13.05.2012, 12:33 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hallo danke erstmal - also das habe ich schon gemacht. F harmonisch . C-R-DGL ableiten führt zu: und . Das heißt die Summe der beiden muss 0 sein, d.h. der Imaginärteil der Funktion muss zweimal stetig diffbar sein (dann gilt Schwarz und damit die Gleichung). Aber reicht das schon?? |
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13.05.2012, 13:11 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind nicht richtig, da war doch was mit einem Minuszeichen? Außerdem ist es unglücklich, dass beides mal ein großes F dasteht. Setze , mach das damit noch mal. |
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13.05.2012, 13:14 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja das - hatte ich vergessen warum ist das unglücklich mit dem F? Das F soll doch nachher mein Realteil werden. Ok, aber hier mit f=u+iv: und . Das Resultat ist doch weiterhin trotzdem, dass v dann zweimal stetig diffbar sein muss (wg. Schwarz), oder? |
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13.05.2012, 15:33 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hab nochmal weiter nachgedacht...durch die zweimal stetige Diffbarkeit erhalte ich ja nur eine notwendige Bedingung... Kann ich das nicht einfach so machen: ?? Oder klappt das nicht so einfach? |
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14.05.2012, 18:59 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, du hast aber zwei Mal F geschrieben, wir brauchen F und f. Packen wir mal alles zusammen:
Also Und jetzt guck dir noch mal das an, vor allem in Bezug auf das Ziel der Aufgabe.
Klingelts? Oder eher nicht? |
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14.05.2012, 19:11 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das was bei mir klingelt war mir schon vorher klar: wenn v zweimal stetig diffbar ist (da dann Schwarz gilt), sind die C-R-DGL erfüllt! Damit habe ich aber doch noch nicht die Aufgabe gelöst. Ich habe nur eine notwendige Bedingung. Aber noch lange keine Hinreichende... |
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14.05.2012, 19:32 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sagen wir mal, v ist C². Dann folgt daraus was? Jetzt ... ? |
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14.05.2012, 19:43 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja aber die wirklichen C-R-DGL folgen eben noch nicht. Es gilt dann nicht: f harmonisch, g ist C^2 => F = f+i*g holomorph! |
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14.05.2012, 19:49 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und? Wieso möchtest du das haben? Bei mir lautet das, was du hier nutzen kannst: Sei f = u+i*v holomorph. Dann gelten die Cauchy-Riemann-DGL. Vielleicht blicke ich selbst nicht durch, aber so kenne ich die CR-GL. |
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14.05.2012, 19:55 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich möchte das haben, weil das die Aufgabe ist ... die andere Richtung ist ja nicht so wild |
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14.05.2012, 19:56 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bzw. möchte ich haben, dass jede reelle harmonische Funktion realteil einer holomorphen Funktion ist. d.h. F harmonisch => es gibt v so dass f=F+i*v holomorph |
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14.05.2012, 20:17 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Joa, ich hab da wohl auf meinem Zettel hier genau die andere Richtung aufgeschrieben. Sorry. Die andere Richtung ist tatsächlich knifflig. Ich hab dazu hier etwas gefunden, was vielleicht schon alles klärt. Man muss passend integrieren. |
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14.05.2012, 20:19 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja macht ja nix die Datei habe ich auch schon gefunden...aber mittlerweile habe ich auch eine Lösung gesehen - danke trotzdem! |
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14.05.2012, 20:21 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und wo hast du sie gesehen? Dass ich mich mit der Aufgabe selbst verhaspelt habe, hast du ja auch gemerkt, jetzt möchte ich sie gerne auch verstehen. Ich zaubere hier schon ein wenig, bin mir aber nicht sicher, wo man da nun die Harmonie von F braucht ... |
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14.05.2012, 20:23 | math_mrg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
habe im internet eine menge gefunden (wenn man nach komplex harmonisch sucht) und heute morgen hat mir in der uni ein bekannter die Aufgabe gezeigt (weiß aber nicht mehr genau was er machte, im Endeffekt nur geschickt integriert glaube ich und dann verwendet dass wenn u harmonisch ist, dann auch v harmonisch sein muss). |
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14.05.2012, 20:26 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Werd mir das auf jeden Fall noch mal zu Gemüte führen. Danke für deinen Kommentar. Edit: Alles doch nicht so schlimm. |
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14.05.2012, 22:55 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Aussage kann, anders als im OP formuliert, für beliebige Gebiete wohl nicht stimmen (in dem letzten von Cel gegebenen Link wird ja auch extra von einfach zusammenhängenden Gebieten geredet): Auf ist (2x stetig diffbar und) harmonisch: Aber f ist der Realteil des komplexen Logarithmus , der holomorph auf ist. Also ist eine holomorphe Funktion F, die f als Realteil hat, bis auf Addition einer imaginären Konstante dort gleich dem Logarithmus, der sich aber nicht auf fortsetzen lässt (nicht mal stetig, erst recht nicht holomorph). |
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