dicht

13.05.2012, 10:01	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
dicht Meine Frage: Sei (X,T) ein topologischer Raum. Sei B Teilmenge von X. Gilt für jede dichte Teilmenge D von X, dass der Durchschnitt von D und B nichtleer ist, dann ist das Innere von B nichtleer. Meine Ideen: Die Definition von dicht habe ich, allerdings weiß ich nicht, wie ich weitermachen könnte. Vielen Dank schonmal.
13.05.2012, 10:08	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm das Gegenteil an und schau X\B an.
13.05.2012, 19:56	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider komme ich mit diesem Tipp nicht weiter. Wie kann ich vorgehen?
13.05.2012, 22:31	Quadratzahl-Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch direkt. Offenbar ist X\B nicht dicht.
14.05.2012, 17:47	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist X/B nicht dicht? Wie kann man das zeigen?
14.05.2012, 19:15	Quadratzahl-Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn X\B dicht wäre, wäre dies ein Widerspruch zur Annahme, dass jede dichte Teilmenge mit B nichtleeren Schnitt hat.
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14.05.2012, 19:34	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass X/B nicht dicht in X ist, habe ich jetzt verstanden. Allerdings sehe ich keinen Zusammenhang dazu, dass dann das Innere von B leer sein muss.
14.05.2012, 19:52	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist demnach $\begin{eqnarray} \overline{X\setminus B}\neq X \end{eqnarray}$
14.05.2012, 20:01	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
Zudem gilt, wenn ich annehme, dass das Innere von B leer ist, dass der Rand von B mit dem Abschluss von B übereinstimmt. Jetzt muss ich dies irgendwie verknüpfen und auf einen Widerspruch führen.
14.05.2012, 20:04	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen dass das Innere nicht (!) leer ist. Forme dazu mal den Abschluss des Komplements von B um, so dass das Innere vorkommt.
14.05.2012, 20:16	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte: $\begin{eqnarray} \overline{X \setminus B} = \overline{X \setminus B°\cup X \setminus (B\setminus B°)} \end{eqnarray}$ . Ist das der richtige Ansatz?
14.05.2012, 21:21	asdf30	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline{X /setminus B} = X \setminus B° \end{eqnarray}$ gilt. Wie kann man das zeigen?

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