dicht

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asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »
dicht
Meine Frage:
Sei (X,T) ein topologischer Raum. Sei B Teilmenge von X. Gilt für jede dichte Teilmenge D von X, dass der Durchschnitt von D und B nichtleer ist, dann ist das Innere von B nichtleer.

Meine Ideen:
Die Definition von dicht habe ich, allerdings weiß ich nicht, wie ich weitermachen könnte.

Vielen Dank schonmal.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm das Gegenteil an und schau X\B an.
 
 
asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider komme ich mit diesem Tipp nicht weiter. Wie kann ich vorgehen?
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch direkt. Offenbar ist X\B nicht dicht.
asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist X/B nicht dicht? Wie kann man das zeigen?
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn X\B dicht wäre, wäre dies ein Widerspruch zur Annahme, dass jede dichte Teilmenge mit B nichtleeren Schnitt hat.
asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass X/B nicht dicht in X ist, habe ich jetzt verstanden. Allerdings sehe ich keinen Zusammenhang dazu, dass dann das Innere von B leer sein muss.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist demnach
asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »

Zudem gilt, wenn ich annehme, dass das Innere von B leer ist, dass der Rand von B mit dem Abschluss von B übereinstimmt. Jetzt muss ich dies irgendwie verknüpfen und auf einen Widerspruch führen.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen dass das Innere nicht (!) leer ist. Forme dazu mal den Abschluss des Komplements von B um, so dass das Innere vorkommt.
asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte: . Ist das der richtige Ansatz?
asdf30 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt noch zeigen, dass gilt. Wie kann man das zeigen?
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