Distribution/Fouriertransformation

25.01.2007, 19:26

Pixma

Distribution/Fouriertransformation

Hi!

Ich habe zwei Aufgaben dir mir große Schwierigkeiten bereiten:

1) Gegeben ist eine Funktion g(t) (streng monoton wachsend, einzige Nullstelle g(0)=0, g'(0)>0 und $\begin{eqnarray*} lim_{\pm \infty} g(t) = \pm \infty \end{eqnarray*}$ )

Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \delta'(g(t)) = \left[ \dfrac{g''(0)}{g'(0)} \delta(t) + \delta'(t) \right] / \left[ g'(0) \right]^2 \end{eqnarray*}$ , indem man in $\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} f(t) \delta'(g(t)) dt \end{eqnarray*}$ die Integrationsvariable t substituiert und zwar durch x = g(t).

2) Man soll zeigen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} dk \dfrac{\sin{k}}{k} = \int_{0}^{\infty} dk \dfrac{\sin{k} \, \cos{(k/7)} }{k} = \dfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Man soll das mit Hilfe von Fouriertransformationen zeigen, doch leider weiß ich nicht wie ich das hier konkret anstellen soll, vor allem weiß ich nicht wo der cos-Term mit dem k / 7 herkommt???

zu (1) habe ich folgendes:
zunächst: die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ exisitiert, da g streng monoton ist

$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} f(t) \delta'(g(t)) dt = \int_{- \infty}^{\infty} f(g^{-1}(x)) \, \delta'(x) \, (g^{-1})'(x) dx = \delta' \left[ f(g^{-1}(x)) \, (g^{-1})'(x) \right] \\ = - \left( f'( g^{-1}(0)) \, (g^{-1})'(0)^2 + f(g^{-1}(0)) \, (g^{-1})'' (0) \right)= - \dfrac{f'(0)}{g'(0)^2} - \dfrac{f(0) \, g'(0)}{g''(0)^2} \end{eqnarray*}$

Dies ist nur einer meiner Versuche, jedoch führt keiner zum gewünschten Ergebnis, ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.

Vielen Dank

25.01.2007, 20:24

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Der Fehler liegt bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} (g^{-1})''(0) \end{eqnarray*}$ :

Es ist ja $\begin{eqnarray*} t = g^{-1}(g(t)) \end{eqnarray*}$ , also zweimal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ differenziert:

$\begin{eqnarray*} 1 = (g^{-1})'(g(t))\cdot g'(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = (g^{-1})''(g(t))\cdot (g'(t))^2 + (g^{-1})'(g(t))\cdot g''(t) = (g^{-1})''(g(t))\cdot (g'(t))^2 + \frac{g''(t)}{g'(t)} \end{eqnarray*}$ ,

also mit $\begin{eqnarray*} x=g(t) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t=g^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} (g^{-1})''(x) = -\frac{g''(g^{-1}(x))}{(g'(g^{-1}(x)))^3} \end{eqnarray*}$ , speziell

$\begin{eqnarray*} (g^{-1})''(0) = -\frac{g''(0)}{(g'(0))^3} \end{eqnarray*}$ .

25.01.2007, 20:34

Harry Done

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RE: Distribution/Fouriertransformation
Zur ersten Aufgabe weiß ich jetzt auch nicht weiter, aber bei der zweiten habe ich mal einen trick gesehen. Wenn man bei folgendem Integral die Integrationsreihenfolge vertauscht und dann erst die ein Variante und dann die zweite Variante berechnet und die dann gleichsetzt, bekommt man relativ einfach die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{\infty}~\left\{\int_{x=0}^{\infty}~e^{-xy}sin(y)~dx\right\}~dy = \int_{x=0}^{\infty}~\left\{\int_{y=0}^{\infty}~e^{-xy}sin(y)~dy\right\}~dx \end{eqnarray*}$

Dann hat man auf der linken Seite das noch unbestimmte Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{\infty}~\frac{sin(y)}{y}~dy \end{eqnarray*}$

und auf der rechten Seite kommt letztendlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} arctan(x)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ heraus.

Du musst am Ende natürlich y=k setzen.

Gruß Jan

25.01.2007, 21:04

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Zitat:

Original von Pixma
vor allem weiß ich nicht wo der cos-Term mit dem k / 7 herkommt???

Das ist nur ein kleiner Spaß: Durch Einsatz des Additionstheorems

$\begin{eqnarray*} 2\sin(x)\cos(y) = \sin(x+y)+\sin(x-y) \end{eqnarray*}$

sowie passende Substitution(en) lässt sich sehr leicht die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} ~ \frac{\sin{k}}{k} ~ \dd k = \int\limits_0^{\infty} ~\frac{\sin{k} \, \cos{(k/7)} }{k} ~ \dd k \end{eqnarray*}$

nachweisen.

27.01.2007, 12:42

Pixma

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Vielen Dank euch beiden.

Das hat mir wirklich weitergeholfen smile

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