Aufgabe zum Borel Paradox - Seite 2

24.06.2012, 14:19

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Das hatten wir doch schon mal diskutiert:

Zitat:

Die Änderung von 1) nach 2) hat folgenden Sinn: Wenn man in 1) $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gleich 0 setzt und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ variiert, erhält man einen vollen Großkreis, nämlich den Äquator. Setzt man dagegen $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ auf einen festen Wert und variiert $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , erhält man nur einen halben Großkreis. Bei 2) ist es genau anders herum.

Es sollen zwei verschiedene, aber jeweils vollständige Großkreise betrachtet werden. Bei 1) der Äquator, bei 2) ein Längenkreis.

24.06.2012, 14:23

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Aber an sich - um das Paradoxe zu zeigen - würde auch nur Aufgabe 1 reichen. Oder?

Und was mir auch unklar ist:

Bei Aufgabe 2 heißt es:

"...so that $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ specifies the complete meridian circle (not semicircle)..."

Das stimmt doch nicht! Denn es soll doch $\begin{eqnarray*} 0\leq\Theta<pi \end{eqnarray*}$ sein.

Edit: Kann ich mir das optisch so vorstellen wie bei dem Bild hier, nur eben mit getauschten Bezeichnungen der Winkel und, dass ich den Breitengrad als Winkel zwischen Äquatorebene und Ortvektor auffasse?

24.06.2012, 14:45

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Dennis2010
Aber an sich - um das Paradoxe zu zeigen - würde auch nur Aufgabe 1 reichen. Oder?

Ja.

Zitat:

Und was mir auch unklar ist:

Bei Aufgabe 2 heißt es:

"...so that $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ specifies the complete meridian circle (not semicircle)..."

Das stimmt doch nicht! Denn es soll doch $\begin{eqnarray*} 0\leq\Theta<pi \end{eqnarray*}$ sein.

Das stimmt schon, denn es ist ja jetzt der Bereich von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ erweitert. Bei $\begin{eqnarray*} \Phi = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt der Bereich für $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ erst mal den halben Äquator. $\begin{eqnarray*} \Theta = \pi \end{eqnarray*}$ , was bei Aufgabe 1 nicht möglich war, ergibt die zweite Hälfte.

Es ist höchst ermüdend, die ollen Kamellen wieder aufzuwärmen.

24.06.2012, 14:50

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Ich habe gerade nochmal über die Formulierung nachgedacht.

Ich denke, sie ist so gemeint:

Für alle Punkte, die den gleichen Längengrad haben, benutzt man ja dann das gleiche $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Also das $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ steht als Längengrad für den ganzen Längengrad; denn der Breitengrad ist ja so angepasst, daß man alle Punkte auf dem Längengrad auch erreicht. Und all diese Punkte haben ja das gleiche $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mich wohl eben von der Formulierung verwirren lassen.

24.06.2012, 18:59

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Unter der Aufgabe steht noch:

Zitat:

This shows again the inadmiisibility of conditioning with respect to an isolated event of probability 0. The relevant $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -field must not be lost sight of.

Das klingt für mich so, als würde das Paradox auftreten, wenn man auf Nullmengen bedingt.

Was der letzte Satz bedeuten soll, ist mir jedoch rätselhaft. Versteht den jemand un knnte ihn mir erklären?

Kolmogorov selbst hat dies geschrieben:
The concept of a conditional probability with regard to an isolated hypothesis whose probability equals 0 is inadmissible. For we can obtain a probability distribution for [the latitude] on the meridian circle only if we regard this circle as an element of the decomposition of the entire spherical surface onto meridian circles with the given poles."

Was bedeutet denn dies:

"[...]For we can obtain a probability distribution for [the latitude] on the meridian circle only if we regard this circle as an element of the decomposition of the entire spherical surface onto meridian circles with the given poles." ?

@Huggy:

Ist das die Argumentation mit den verschiedenen Grenzvorstellungen?
Einmal als "Grenzprozess" mit Parallelkreisen und einmal ist es ein Grenzprozess mit "Keilen" und daher das Paradox?

Und die allgemeine Frage für mich bleibt: Kommt das Paradox immer vor, wenn man auf "isolated events with probability 0" bedingt?

25.06.2012, 09:13

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Vielleicht ist mein Englisch zu schlecht, um obige Sätze genau zu verstehen. Ich sehe die Sache so: Die bedingte Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

ist bei $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ erst mal nicht definiert. Diese Situation hat man bei einem $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der Form $\begin{eqnarray*} Y=y_0 \end{eqnarray*}$ mit einer stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , wenn man mal die Sonderfälle außer Acht lässt, bei denen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auf einzelnen Punkten eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Das Problem lässt sich durch einen Grenzübergang beheben. Man kann, falls der Grenzwert existiert, definieren:

$\begin{eqnarray*} P(A|Y=y_0)=\lim_{\epsilon \to 0}\frac {P(A \cap Y \in [y_0, y_0 + \epsilon])}{P(Y \in [y_0, y_0 + \epsilon])} \end{eqnarray*}$

Man kann o. B. d. A $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ betrachten. Das sei im folgenden gemacht. Wenn man nun eine Variablentransformation für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ der Form

$\begin{eqnarray*} V=\frac {Y}{g(X)} \end{eqnarray*}$

macht mit einer für die Transformation zulässigen Funktion $\begin{eqnarray*} g(X) \end{eqnarray*}$ (siehe Wiki-Artikel unten), so hat man $\begin{eqnarray*} (Y=0) \leftrightarrow (V=0) \end{eqnarray*}$ . Man könnte deshalb erwarten, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A|Y=0)=P(A|V=0) \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht der Fall. Die beiden Grenzwerte unterscheiden sich um den Faktor $\begin{eqnarray*} g(X) \end{eqnarray*}$ . Nähere Überlegung zeigt, dass diese Erwartungshaltung schlicht falsch ist. Bei einem Grenzübergang zu einem bestimmten Punkt hängt das Ergebnis doch häufig davon ab, auf welchem Weg man sich dem Punkt nähert.

Weshalb man daraus den Schluss ziehen sollte, dass eine auf ein isoliertes Ereignis bezogene Bedingung generell unzulässig sei, verstehe ich nicht. Man muss halt nur die Zufallsgröße mitbeachten, über die man die Bedingung konkretisiert. Ohne Bezug auf eine bestimmte Zufallsgröße hat man keine Definition vorliegen. Vielleicht ist genau das mit "the relevant $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ field must not be lost sight of." gemeint.

Anzeige

25.06.2012, 12:14

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, grundsätzlich habe ich das verstanden.

Zwei Fragen:

1.) Kann man das mit dem Grenzwert auch dadurch ersetzen, daß man $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ , gleich einen beliebigen konstanten Wert setzt (der dann für alle Mengen B mit Wahrscheinlichkeit 0 der gleiche ist)?

2.) Wie lauten A, V und Y bei dem Beispiel mit den Großkreisen?

25.06.2012, 12:59

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
1.) Kann man das mit dem Grenzwert auch dadurch ersetzen, daß man $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ , gleich einen beliebigen konstanten Wert setzt (der dann für alle Mengen B mit Wahrscheinlichkeit 0 der gleiche ist)?

Das wäre eine ziemlich unsinnige Definition.

Zitat:

2.) Wie lauten A, V und Y bei dem Beispiel mit den Großkreisen?

Bei dem Beispiel mit den Großkreisen wird keine Transformation einer der beiden Variablen durchgeführt. Dort werden die Rollen der beiden Variablen vertauscht.

25.06.2012, 13:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch, wenn das jetzt etwas vom Thema weggeht..

Aber wieso kann man dann im diskreten Fall die bedingte Wahrscheinlichkeit allgemein so definieren:

$\begin{eqnarray*} f(\omega)=P(A|B_i)=\frac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \omega\in B_i, i=1,2,... \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} B_1,B_2,... \end{eqnarray*}$ eine abzählbare Partition von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sein sollen.

Und da steht im Billingsley:

"This definition needs to be completed, because $\begin{eqnarray*} P(A|B_i) \end{eqnarray*}$ is not defined if $\begin{eqnarray*} P(B_i)=0 \end{eqnarray*}$ . In this case, $\begin{eqnarray*} f(w) \end{eqnarray*}$ will be taken to have any constant value on $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ ; the value is arbitrary but must be the same over all the sets $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ ."

Wieso kann man denn dann da einfach die bedingte W.keit auf einen beliebigen konstanten Wert setzen, wenn $\begin{eqnarray*} P(B_i)=0 \end{eqnarray*}$ ?

25.06.2012, 16:26

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Im diskreten Fall entfällt die Möglichkeit, die bedingte Wahrscheinlichkeit im Falle $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ über einen Grenzwert zu definieren. Man kann also auch nicht mit dieser im stetigen Fall naheliegenden und natürlichen Definition in Konflikt kommen. Wenn man im diskreten Fall den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit in einfacher Form haben will, ist es aber zweckmäßig, auch dort $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ für den Fall $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ zu definieren. Welchen Wert man dann $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ gibt, ist für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit unerheblich, da diese Terme ja mit $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ , also 0, multipliziert werden. Man kann also hier eine gewisse Willkür walten lasssen. Weshalb Billingsley es als notwendig ansieht, dass dieser Wert für alle $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ derselbe ist, erschließt sich mir nicht, außer aus Vereinfachungsgründen. Dann kann man aber auch gleich 0 als Wert wählen.

25.06.2012, 16:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese großartige Erklärung!

Ich habe im stetigen Fall die bedingte Wahrscheinlichkeit im Billingsley jedoch nicht über diese Grenzwertüberlegung definiert gefunden, sondern durch zwei Bedingungen, die die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A|\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ erfüllen muss:

(1) $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ -messbar und integrierbar

(2) $\begin{eqnarray*} \int_{G}P(A|G)\, dP=P(A\cap G), G\in\mathcal{G} \end{eqnarray*}$

Ist diese eine andere "Definitionsweise" bzw. Herangehensweise?

(Im ganzen Kapitel im Billingsley lese ich nämlich nirgends etwas von diesen Grenzwertüberlegungen, daher denke ich mir, dass er das vielleicht anders definiert bzw. eingeführt hat.)

25.06.2012, 16:55

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute mal, der Billingsley ist ein mathematisch orientiertes Lehrbuch. Als solches setzt es natürlich auch bei der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit im stetigen Fall nicht bei den Zufallsgrößen an, sondern eine Ebene tiefer.

25.06.2012, 17:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Soll heißen: Er definiert sie für Unter-sigma-Algebren und nicht für Zufallsgrößen.

Würde man sie über Zufallsgrößen definieren, dann müsste man es im stetigen Fall über Deine Überlegung (Grenzwerte) machen?

Falls das nun stimmt, möchte ich mich nochmal sehr herzlich für die geduldige, tolle Hilfe bedanken (sonst natürlich auch !) und diesen langen Thread für "fertig" erklären.

27.06.2012, 20:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verlinke hier nochmal diesen Thread von mir, in dem es auch um das Borel-Paradox geht, insbesondere bei den letzten Beiträgen.

23.07.2012, 12:37

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Huggy

$\begin{eqnarray*} P(A|Y=y_0)=\lim_{\epsilon \to 0}\frac {P(A \cap Y \in [y_0, y_0 + \epsilon])}{P(Y \in [y_0, y_0 + \epsilon])} \end{eqnarray*}$

Wieso das abgeschlossene Intervall $\begin{eqnarray*} [y_0, y_0+\varepsilon] \end{eqnarray*}$ ?
Würde dann nicht der Limes gerade wieder $\begin{eqnarray*} [y_0,y_0] \end{eqnarray*}$ sein, was wieder eine Nullmenge wäre? Müsste man nicht das offene Intervall nehmen, also $\begin{eqnarray*} (y_0,y_0+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ?

Kann man das auch für Dichten schreiben?

Also zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} A_{\varepsilon}:=\vert y\vert<\varepsilon \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}f_{X|Y}(x|A_{\varepsilon})=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{f_{X,Y}(x,\vert y\vert<\varepsilon)}{f_Y(\vert y\vert<\varepsilon)} \end{eqnarray*}$

?
Meint man mit $\begin{eqnarray*} A_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} y\in (0,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ?

Kann man dann sagen, daß

$\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ , da (wenn man sich den Grenzprozess sozusagen als beendet vorstellt), gilt:

$\begin{eqnarray*} f_Y(0)\cdot f_{X|Y}(x|y=0)=f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ?

24.07.2012, 11:59

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Oh weh, das wird der unendliche Thread!

Zitat:

Original von Dennis2010
Wieso das abgeschlossene Intervall $\begin{eqnarray*} [y_0, y_0+\varepsilon] \end{eqnarray*}$ ?
Würde dann nicht der Limes gerade wieder $\begin{eqnarray*} [y_0,y_0] \end{eqnarray*}$ sein, was wieder eine Nullmenge wäre? Müsste man nicht das offene Intervall nehmen, also $\begin{eqnarray*} (y_0,y_0+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ?

Ist dir entgangen, dass nicht die Grenzwerte im Zähler und Nenner separat betrachtet werden, - dann müsste man ja auch ein lim in den Zähler und in den Nenner schreiben - sondern der Grenzwert des Quotienten? Erst dadurch wird doch ein undefinierter Ausdruck vermieden.

Zitat:

Kann man das auch für Dichten schreiben?

Wenn man zu bekannteren Formeln übergehen möchte, sollte man nicht den Spezialfall $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ betrachten, sondern den allgemeinen Fall. Nimmt man $\begin{eqnarray*} A=(X \leq x) \end{eqnarray*}$ , so hat man auf der linken Seite

$\begin{eqnarray*} LS=P(A|Y=y_0)=P(X \leq x|Y = y_0)=F_{X|Y}(x|Y =y_0) \end{eqnarray*}$

und auf der rechten Seite

$\begin{eqnarray*} RS=\lim_{\epsilon \to 0} \frac {P((X \leq x) \cap (Y \in [y_0, y_0 + \epsilon])}{P(Y \in [y_0, y_0 + \epsilon])}=\lim_{\epsilon \to 0} \frac {F_{XY}(x, y_0+ \epsilon)-F_{XY}(x, y_0)}{F_Y(y_0+\epsilon)-F_Y(y_0)} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ teilt, kann man tatsächlich den Grenzwert des Qurienten durch den Qutienten der Grenzwerte ersetzen.

$\begin{eqnarray*} RS=\lim_{\epsilon \to 0} \frac {(F_{XY}(x, y_0+ \epsilon)-F_{XY}(x, y_0))/ \epsilon}{(F_Y(y_0+\epsilon)-F_Y(y_0))/ \epsilon}= \frac {\frac{d}{dy}F_{XY}(x,y_0)}{f_Y(y_0)} \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt die rechte und linke Seite nach x ableitet, steht da:

$\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|Y=y_0)=\frac {\frac {d}{dx} \frac{d}{dy}F_{XY}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}= \frac {f_{XY}(x,y_0)}{f_Y(y_0)} \end{eqnarray*}$

Und das dürfte dir wieder bekannt vorkommen.

24.07.2012, 12:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Hallo, Huggy!

Ich habe (mal wieder) Probleme, Deine Antwort richtig zu deuten.

Sollte Deine Antwort mir sagen, dass

Zitat:

Original von Dennis2010

Kann man das auch für Dichten schreiben?

Also zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} A_{\varepsilon}:=\vert y\vert<\varepsilon \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}f_{X|Y}(x|A_{\varepsilon})=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{f_{X,Y}(x,\vert y\vert<\varepsilon)}{f_Y(\vert y\vert<\varepsilon)} \end{eqnarray*}$

?

richtig ist - oder falsch?

verwirrt

verwirrt

24.07.2012, 12:21

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
So kann man das nicht schreiben. Du kannst nicht in die Dichten im Zähler und Nenner einen Bereich für eine Variable schreiben. So etwas ist doch gar nicht definiert. Die Grenzwertbildung hilft da auch nicht. Denn die Terme im Zähler und Nenner müssen erst mal für $\begin{eqnarray*} \epsilon \neq 0 \end{eqnarray*}$ definiert sein, bevon man dann den Grenzwert bilden kann.

Aber du kannst in meiner letzten Formel wieder den Spezialfall $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ bilden.

24.07.2012, 12:28

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Ich verstehe das irgendwie nicht.

Ich beziehe mich auf Jaynes, The Borel Kolmogorov Paradox.

Hier der Link: Seite 1516, ganz unten

Da ist das (so, wie ich es verstehe) auch so geschrieben mit den Dichten.

Oh je, je, je.

24.07.2012, 12:44

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Falls du die Formel 15-49 meinst, so stehen da nach meinem Verständnis Wahrscheinlichkeiten und keine Dichten. Ich habe allerdings den restlichen Text nicht geprüft, ob er p vielleicht anders definiert hat.

24.07.2012, 12:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Achso!!

Das würde dazu passen, dass da kurz vorher steht:

"[...] the conditional probability of any hypothesis $\begin{eqnarray*} H=x\in dx \end{eqnarray*}$ [...]"

(Mit $\begin{eqnarray*} H=x\in dx \end{eqnarray*}$ ist dann gemäß Deinem Beitrag wohl $\begin{eqnarray*} X\leq x \end{eqnarray*}$ gemeint?)

Ich dachte nur an Dichten, weil in dem Text vorher bei p immer von pdf die Rede ist.

Vermutlich benutzt Jaynes p mal als Dichte und mal als Wahrscheinlchkeit und schreibt vorher immer vor, was er gerade meint.

24.07.2012, 13:24

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Habe ich das jetzt korrekt verstanden, daß man $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|Y=0) \end{eqnarray*}$ herleiten kann, indem man den Limes von $\begin{eqnarray*} P(X\leq x| A_{\varepsilon}) \end{eqnarray*}$ bildet, genauer: Den Limes von $\begin{eqnarray*} \frac{P(X\leq x, A_{\varepsilon})}{P(A_{\varepsilon})} \end{eqnarray*}$ ?

Und daß $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\to 0}P(X\leq x|A_{\varepsilon})\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ , da man ja hat:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\to 0}P(X\leq x|Y=0)=\frac{f_{X,Y}(x,0)}{f_Y(0)} \end{eqnarray*}$ und man somit

$\begin{eqnarray*} f_Y(0)\cdot\lim\limits_{\varepsilon\to 0}P(X\leq x, Y=0)=f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ hat?

24.07.2012, 13:44

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Dennis2010
Habe ich das jetzt korrekt verstanden, daß man $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|Y=0) \end{eqnarray*}$ herleiten kann, indem man den Limes von $\begin{eqnarray*} P(X\leq x| A_{\varepsilon}) \end{eqnarray*}$ bildet, genauer: Den Limes von $\begin{eqnarray*} \frac{P(X\leq x, A_{\varepsilon})}{P(A_{\varepsilon})} \end{eqnarray*}$ ?

Statt herleiten würde ich definieren sagen. Eine Herleitung würde voraussetzen, dass man die linke Seite schon auf andere Art definiert hat, was ich zumindest nicht gemacht habe.

Zitat:

Und daß $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\to 0}P(X\leq x|A_{\varepsilon})\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ , da man ja hat:

Ja.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\to 0}P(X\leq x|Y=0)=\frac{f_{X,Y}(x,0)}{f_Y(0)} \end{eqnarray*}$ und man somit

$\begin{eqnarray*} f_Y(0)\cdot\lim\limits_{\varepsilon\to 0}P(X\leq x, Y=0)=f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ hat?

Ja, nur hat der Limes jetzt nichts mehr in Gleichungen zu suchen.

24.07.2012, 13:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Huggy

Ja, nur hat der Limes jetzt nichts mehr in Gleichungen zu suchen.

Vorerst letze Frage:

Wieso darf der Limes bei der Proportionalität nicht mehr stehen?

(Ich freue mich, dass ich endlich was verstanden habe, ein kleines Lichtlein am Ende des Tunnels.)

24.07.2012, 13:54

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Solange noch $\begin{eqnarray*} A_\epsilon \end{eqnarray*}$ in der Gleichung steht, gibt es auch noch den Grenzwert. Wenn $\begin{eqnarray*} A_\epsilon \end{eqnarray*}$ weg ist, gibt es auch keinen Grenzwert mehr. Man kann doch einen Grenzwert bezüglich $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ nur hinschreiben, solnge $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ noch in dem Ausdruck vorkommt.

24.07.2012, 13:57

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Das macht natürlich Sinn.

Ich habe Deine Geduld nun wieder sehr strapaziert.

Ich bin Dir überaus dankbar. Ohne Dich wäre ich hier wieder vollkommen aufgeschmissen gewesen.

Ich weiß, dass es sehr mühselig mit mir ist.
Am Ende freue ich mich aber immer, dass ich etwas verstanden habe.
Vielleicht ist das ein minimaler Trost für Dich bzw. für Deine ausdauernde und tolle Hilfe.

24.07.2012, 16:19

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y=0)=\frac{\frac{d}{dy}F_{X,Y}(x,0)}{f_Y(0)} \end{eqnarray*}$ und somit wäre es doch vielmehr

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y=0)\propto \frac{d}{dy}F_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ?

(nebenbei gefragt: Ist dies nicht äquivalent zu $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ? Oder ist das sowieso klar, da sowieso definitionsgemäß $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)=\frac{f_{X,Y}(x,0)}{f_Y(0)} \end{eqnarray*}$ ?)

Jaynes schreibt übrigens auf Seite 1517, ganz oben:

$\begin{eqnarray*} \lim p(H|A_{\varepsilon})\propto g(x) \end{eqnarray*}$ , wobei ich nirgends sehe, dass er irgendwo schreibt, was $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ sein soll.
Ich glaube hier meint er diesmal wieder die Dichte, weil da steht: "[...] the conditional densities tend to different limits", also:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\to 0}f_{X|Y}(x|A_{\varepsilon})=f_{X|Y}(x|Y=0)\propto g(x):=f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ (Ich nehme an, dass er das mit $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ meint, weiß es aber nicht genau.)

------
Wie kam ich denn auf

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y=0)\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ?

(Das hatte ich ja oben geschrieben. Und da Du keine Widerworte eingelegt hast, schien es auch richtig zu sein, ich sehe aber jetzt nicht mehr, wie ich darauf kam.)

25.07.2012, 09:51

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Dennis2010
Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y=0)=\frac{\frac{d}{dy}F_{X,Y}(x,0)}{f_Y(0)} \end{eqnarray*}$ und somit wäre es doch vielmehr

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y=0)\propto \frac{d}{dy}F_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ?

(nebenbei gefragt: Ist dies nicht äquivalent zu $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ? Oder ist das sowieso klar, da sowieso definitionsgemäß $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|y=0)=\frac{f_{X,Y}(x,0)}{f_Y(0)} \end{eqnarray*}$ ?)

Wenn man das als Definition hinschreibt, ist es natürlich definitionsgemäß so. Wenn man die bedingte Dichte dagegen als Ableitung einer bedingten Wahrscheinlichkeit definiert, dann ist es eine Schlussfolgerung.

Zitat:

Wie kam ich denn auf

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y=0)\propto f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ?

(Das hatte ich ja oben geschrieben. Und da Du keine Widerworte eingelegt hast, schien es auch richtig zu sein, ich sehe aber jetzt nicht mehr, wie ich darauf kam.)

Mir ist beim Lesen einfach entgangen, dass da bei dir rechts ein kleines f steht.

25.07.2012, 11:20

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Okay, damit ist das "Formale" für mich so weit klar. Danke.

Ich frage mich, wieso Jaynes diesen ganzen Aufwand betreibt bzw. was seine Argumentation ist.

Ich sehe das so:

Er möchte erklären, wieso es bei unterschiedlichen, aber äquivalenten Darstellungen der zweiten Koordinate zu verschiedenen bedingten Dichten kommt.

Dazu interpretiert er das Ereignis "y=0" als das Ergebnis eines Grenzprozesses einer geeigneten Folge und berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\begin{eqnarray*} X\leq x \end{eqnarray*}$ mit der Folge als bedingendem Ereignis.

Dabei ergibt sich, wenn man den Grenzwertprozess bildet, daß diese bedingte Wahrscheinlichkeit proportional ist zu $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}F_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ bzw., was daraus folgt, daß $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(x|Y=0) \end{eqnarray*}$ proportional ist zu $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ ; diese Dichte hat er zuvor berechnet.

(Das dürfte dann das betreffen, was Du in Deinem letzten Beitrag geschrieben hast: Die Proportionalität der bedingten Dichte ist hier eine Folgerung aus der Proportionalität der bedingten Wahrscheinlichkeit.)

Das Gleiche macht er mit dem Ereignis "u=0" und es kommt hier heraus, daß die bedingte Dichte proportional ist zu $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,0)\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ eine bel. positive Funktion darstellen kann.

Der ganze Weg über die bedingten Wahrscheinlichkeiten erfüllt also den Zweck, daß man zeigen kann, zu welchen Ausdrücken die bedingten Dichten proportional sind.

Ohne diesen Weg über die bedingten Wahrscheinlichkeiten hätte man zwar auch sagen können, daß die beiden ermittelten bedingten Dichten proportional zu $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,0) \end{eqnarray*}$ bzw. zu $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,0)f(x) \end{eqnarray*}$ sind - aber das hätte irgendwie keinen Erklärungswert gehabt, weil man nur einfach die Definition der bedingten Dichte als Quotient aus der gemeinsamen Dichte und der Randdichte der zweiten Zufallsvariable ausgenutzt hätte. Während man bei dem Weg über die bedingte Wahrscheinlichkeit sich das mit dem Grenzprozess sozusagen bildhaft vorstellen kann und versteht, was da "passiert".

Ich hoffe, das ist so okay?

25.07.2012, 13:55

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich hoffe, das ist so okay?

Ja, das ist eine gute Zusammenfassung!

Zitat:

Ich frage mich, wieso Jaynes diesen ganzen Aufwand betreibt bzw. was seine Argumentation ist.

Bei Jaynes gibt es nach meinem Verständnis eine doppelte Motivation.

Einmal möchte er demonstrieren, dass man dem Fehlschluss des Borelparadoxons erst gar nicht erliegen würde, wenn man bedingte Dichten als Ergebnis eines Grenzprozesses betrachtet. Und da bin ich voll bei ihm.

Darüber hinaus möchte er aber - das ist meine persönliche Interpretation - dafür Werbung machen, dass man sich generell stetige Zufallsgrößen durch einen konkreten Grenzprozess aus diskreten Zufallsgrößen entstanden denken sollte. Damit hofft er, ein Grundproblem der Bayesianischen Statistik zu lösen, nämlich, wie man apriori-Verteilungen festlegen sollte, wenn es noch kein Vorwissen gibt.

16.08.2012, 16:50

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Borel Paradox

Zitat:

Original von Huggy

$\begin{eqnarray*} LS=P(A|Y=y_0)=P(X \leq x|Y = y_0)=F_{X|Y}(x|Y =y_0) \end{eqnarray*}$

Wie zeigt man

$\begin{eqnarray*} LHS=\lim_{\epsilon\to 0}P(X\leq x|A_{\epsilon})=P(X\leq x|0) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} A_{\epsilon}:=\vert y\vert<\epsilon, \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ?

---

Man soll irgendwie benutzen, dass

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|A_{\epsilon})=\frac{\int\limits_{A_{\epsilon}}P(X\leq x|Y)f_Y(y)\, dy}{P(Y\in A_{\epsilon}} \end{eqnarray*}$

Also den Zähler erkläre ich mir so, dass da ja $\begin{eqnarray*} P(X\leq x,Y\in A_{\epsilon}) \end{eqnarray*}$ steht und das ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{A_{\epsilon}}\int\limits_{-\infty}^{x}f_{X,Y}(x,y)\, dx\, dy \end{eqnarray*}$ . Es ist ja $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}=f_{X|Y}f_Y \end{eqnarray*}$ .

und $\begin{eqnarray*} f_{X|Y} \end{eqnarray*}$ ist ja Dichte der regulären Verteilung $\begin{eqnarray*} P(X\in\cdot |Y) \end{eqnarray*}$ , sodaß man für das innere Integral Obiges schreiben kann.

Jetzt könnte man noch $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|Y \end{eqnarray*}$ ersetzen durch $\begin{eqnarray*} E(\chi_{X\leq x}|Y) \end{eqnarray*}$ .

Aber weiter weiß ich leider nicht.

16.08.2012, 17:30

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht bin ich selbst drauf gekommen.

Macht man mit L'Hospital - oder?

Dann habe ich mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon\to 0}\frac{\int_{0}^{\epsilon}P(X\leq x|Y)f_Y(y)\, dy}{\int_{0}^{\epsilon}f_Y(y)\, dy}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{P(X\leq x|\epsilon)f_Y(\epsilon)}{f_Y(\epsilon)}=\lim_{\epsilon\to 0}P(X\leq x|\epsilon)=P(X\leq x|0) \end{eqnarray*}$

17.08.2012, 11:40

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wäre sehr froh, wenn mal eben jemand antworten könnte.

Big Laugh

Big Laugh

« vorherige Seite 12

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »