Aufgabe zum Borel Paradox

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Borel Paradox
Meine Frage:
Hallo, ich habe im Billingsley folgende Aufgaben gefunden, die exemplarisch für das Borel Paradox sind. Ich würde mich gerne an ihnen versuchen, weil ich das Paradox dann vielleicht besser verstehe.


1.) Let and be the longitude and latitude of a random point on the surface of the unit sphere in . Show that and are independent, is uniformly distributed over , and is distributed over with density .

2.) Suppose that a random point on the sphere is specified by longitude and latitude , but restrict by , so that specifies the complete meridian circle (not semicircle) containing the point, and compensate by letting range over .

(a) Show that for given the conditional distribution of has density over . If the point lies on, say, the meridian circle through Greenwich, it is therefore not uniformly distributed over that great circle.

(b) Show that for given the conditional distribution of is uniform over . If the point lies on the equator ( is 0 or ), it is therefore uniformly distributed over that great circle.



Since the point is uniformly distributed over the spherical surface and great circles are indistinguishable, (a) and (b) stand in apperant contradiction.

Meine Ideen:
Zu Aufgabe 1)

Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es hier um die Einheitssphäre :

Sei ein Punkt,

, wobei die Euklidische Norm ist.

Und jetzt soll man sich einen Zufallspunkt wählen. Wie zeige ich jetzt, daß und unabhängig sind und daß stetig gleichverteilt über ist und daß über verteilt ist mit der Dichte ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Hat eventuell noch jemand einen Tipp für mich?

(Stecke wirklich fest.)

Wink
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Zitat:
Original von Dennis2010
Und jetzt soll man sich einen Zufallspunkt wählen. Wie zeige ich jetzt, daß und unabhängig sind und daß stetig gleichverteilt über ist und daß über verteilt ist mit der Dichte ?

Gleichverteilung auf der Oberfläche der Einheitskugel bedeutet, wenn A eine Teilfläche der Kugeloberfläche mit der Größe |A| ist, dann gilt:



Damit kannst du dir die Verteilungsfunktion von mittels



hinschreiben. Danach siehst du sofort, dass das Doppelintegral der Verteilungsfunktion in ein Produkt zweier Einzelintegrale faktorsiert, die jeweils nur von einer der beiden Variablen abhängen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann Euch noch zu Aufgabe 1 einen Lösungshinweis geben, den ich jedoch leider ebenso wenig verstehe, der aber vielleicht euch verständlich ist:


"To get the distribution of show by integration that for the intersection with the unit ball of the - set where has volume ."


Außerdem habe ich mir gedacht, daß vllt. dieser Link hilfreich ist.



Edit Sorrym Huggy, eben hatte ich Deine Antwort noch nicht gesehen, die ich mir jetzt erstmal gut durchlese.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Zitat:
Original von Huggy
Damit kannst du dir die Verteilungsfunktion von mittels



hinschreiben. Danach siehst du sofort, dass das Doppelintegral der Verteilungsfunktion in ein Produkt zweier Einzelintegrale faktorsiert, die jeweils nur von einer der beiden Variablen abhängen.





So? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Nein!

Der Bereich definiert doch erst die Teilfläche A der Kugeloberfläche. Deren Größe sollst du durch Integration in Kugelkoordinaten hinschreiben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Ach, wie blöde von mir. Hammer

mit .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Das ist fast richtig. In der Aufgabe werden ja nicht die üblichen Kugelkordinaten verwendet, sondern geographische Koordinaten. Dadurch läuft das eine Integral ab und aus dem Sinus wird ein Cosinus. Außerdem sind die Bezeichnungen für die beiden Winkel in der Aufgabe gerade andersherum.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Und fehlt nicht auch noch der Faktor davor?



Geografische Koordinaten? Wo ist denn da der Unterschied?



Wie kann ich jetzt die Dichten für die beiden Winkel bestimmen?

Also zeigen, daß gleichverteilt ist über ?

Und daß der andere Winkel die Dichte hat?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Zitat:
Original von Dennis2010
Und fehlt nicht auch noch der Faktor davor?

Ja, der fehlt noch vor dem Integral. Denn das Integral ist ja nur die Größe der Fläche.

Zitat:
Geografische Koordinaten? Wo ist denn da der Unterschied?

Darüber solltest du dich selber schlau machen können. Bei den mathematischen Kugelkoordinaten rechnet man den Winkel , der hier heißt, von der positiven z-Achse aus und der geht dann von 0 bis . Bei den geographischen Koordinaten (unsere Längen- und Breitengrade) rechnet man ihn von der x-y-Ebene aus und er geht dann von bis .

Zitat:
Wie kann ich jetzt die Dichten für die beiden Winkel bestimmen?

Also zeigen, daß gleichverteilt ist über ?

Und daß der andere Winkel die Dichte hat?

Wie ich schon sagte, ist das Doppelintegral als Produkt zweier Einzelintegrale schreibbar. Es muss nur noch der Faktor geeignet aufgeteilt werden. Die Aufteilung ergibt sich, indem man die Randverteilungen betrachtet. Danach hat man die beiden Einzelverteilungen und die Dichten ergeben sich wie üblich durch Ableiten.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Ich muss leider nochmal nachfragen.

Also, ich habe jetzt:

mit

Was ist dann die gemeinsame Dichte von und ?

Ist das ? Oder doch nur ?

Die gemeinsame Dichte (abgesehen davon, ob ich sie jetzt richtig erkannt habe) nenne ich mal .


Ich bin mir nicht sicher, wie ich jetzt die Randdichten berechne:

Z.B.

?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Du hast



Bleibt noch die Frage, wie man die Konstante aufzuteilen hat. Das ergibt sich wie gesagt aus den Randverteilungen und die bekommst du, indem du jeweils eine der oberen Grenzen auf den Maximalwert setzt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Das mit den Randverteilungen verstehe ich nicht ganz.

Ich habe jedoch ausgerechnet, daß eine Randdichte ist und die andere Randdichte ist .


Und das kommt ja wunderbar hin mit dem, was zu zeigen war.


Vielleicht kannst Du mir das mit dem Aufteilen des Faktors nochmal erklären, denn ich habe zwar jetzt die Ergebnisse raus, die raus kommen sollen, aber das Argument habe ich noch nicht ganz verstanden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Da ich nicht ganz verstehe, wo dein Problem ist, versuche ich es mal leicht anders. Wir haben bisher



Aus erhält man dann . Bei geht es analog.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich verstehe so langsam.


Man landet also vorerst bei

,

kann damit aber noch nicht "zufrieden" sein, weil man den Faktor noch auf die beiden Integrale aufteilen muss.


Diese Aufteilung bekommt man so, wie Du es eben beschrieben hast.


Schlussendlich hat man da also stehen:



An dieser Darstellung erkennt man erstens, daß und voneinander unabhängig sind, da man die gemeinsame Verteilungsfunktion als Produkt der einzelnen Verteilungsfunktionen schreiben kann und zweitens kann man jetzt die Dichten bestimmen, indem man nach ableitet und nach ableitet.

Man kommt dann auf:

, was ja gerade der Dichte einer Gleichverteilung auf entspricht und

, wobei diese Dichte gilt auf , also dem maximalen Intervall.



Ist das so jetzt als korrekt abhakbar?

(Dann würde ich mich morgen - oder heute evtl. später - mal um die zweite Aufgabe kümmern, bei der man dann, glaube ich, nur diese erste Aufgabe anzuwenden braucht und dann ein Paradox hat, das Borel Paradox.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Einwände!

Ich wundere mich etwas, dass bei der Aufgabe nicht nach der Auflösung des Paradoxons gefragt wird. Das ist doch eigentlich der interssante Teil.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lässt sich das Borel Paradoxon denn "auflösen"?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Jedes Paradoxon lässt sich auflösen. Sonst wäre es ja kein scheinbarer, sondern ein richtiger Widerspruch. Richtige Widersprüche gibt es in der Mathematik nicht.

Ich kenne dieses Paradoxon nur so ungefähr und weiß auch nur so ungefähr, wie die Auflösung aussieht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Würde mich sehr interessieren.

Vielleicht kann ich es ja irgendwo nachlesen? Weißt Du eine gute Quelle?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da müsste ich auch erst nachforschen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nämlich schon manche Quelle gelesen und da nichts von Auflösung gefunden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mir eine Quelle in Erinnerung kommt, melde ich mich.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Hab schon was. Ist doch hier ganz gut erklärt, finde ich:

http://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80...mogorov_paradox
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst den Teil "Explanation and implications"?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann werde ich morgen mich damit mal beschäftigen.

Erst Aufgabe 2 und dann die Explanation and implication.



Ich danke Dir bis zu diesem Zeitpunkt sehr.
Du hast mir sehr (!) geholfen und ich bin Dir dafür sehr dankbar. Gott


Evtl. schaust Du ja dann nochmal hier rein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche gerade 2 a).

Rechnen muss ich doch:

, wegen der gezeigten Unabhängigkeit von und

Und da komme ich dann auf (weil die Dichte ja nur für das Intervall gilt):




Aus dem letzten Integral folgt, daß die Dichte ist.

Also im Grunde hat man doch hier die Dichte aus Aufgabe 1 nur anders aufgeschrieben?


Edit:

Aufgabe 2b):

Das weiß ich gerade nicht, wie man das zeigen könnte.


Mir ist nur Folgendes eingefallen:



Und bedeutet das nicht, daß eine Gleichverteilung über vorliegt, denn wenn die Integration über 1 ergibt, kann die Dichte außerhalb dieses Intervalls ja nur noch 0 sein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einje ergänzende Frage zu meinen Ideen im letzten Beitrag.


Was soll das eigentlich, daß man in Aufgabe 2 den Längengrad jetzt nur noch von 0 bis 180 Grad gehen läßt (und dafür den Breitengrad von -180 Grad bis 180 Grad)? In Aufgabe 1 ließ man doch noch den Längengrad von 0 bis 360 Grad gehen und den Breitengrad von -90 bis 90 Grad?


Soll das die Aufgabe komplizierter machen? Im Grunde könnte man diese Veränderung doch auch weglassen, oder?


Edit: Oder soll das einfach nur mal zeigen, daß beide Sichtweisen verwendet werden können?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010

Also das ist eine wirklich seltsame Rechnung. Das erste Integral ergibt 0. Die beiden anderen ergeben 1. Wie soll da das erste gleich den beiden anderen sein.

Eigentlich ist ja bei 2) nichts neu zu rechnen. Der Bereich für den einen Winkel wurde verdoppelt, für den anderen halbiert. Dadurch halbiert sich die erste Dichte und die zweite verdoppelt sich. Wenn du aber die Rechnung wiederholen willst, solltest du hier ansetzen:



Das ändert sich in



Die maximalen Obergrenzen sind jetzt beide . Der Absolutbetrag beim Cosinus kommt aus der Jacobideterminante, da der Cosinus jetzt auch negativ werden kann.


Die Änderung von 1) nach 2) hat folgenden Sinn: Wenn man in 1) gleich 0 setzt und variiert, erhält man einen vollen Großkreis, nämlich den Äquator. Setzt man dagegen auf einen festen Wert und variiert , erhält man nur einen halben Großkreis. Bei 2) ist es genau anders herum.

Es sollen zwei verschiedene, aber jeweils vollständige Großkreise betrachtet werden. Bei 1) der Äquator, bei 2) ein Längenkreis.


Nachdem man die Gleichverteilung auf der Kugeloberfläche als Produkt zweier unabhängiger Dichten dargestellt hat, sind die bedingten Dichten ja trivial hinzuschriben. Das paradoxe ist, dass man für zwei verschiedene Großkreise unterschiedliche bedingte Dichten bekommt. Sollten wegen der vollkommenenen Symmetrie der Kugel nicht alle Großkreise dieselbe bedingte Dichte bekommen? Man kann die Kugel doch drehen wie man will, die Gleichverteilung bleibt eine Gleichverteilung und man kann jeden Großkreis in jeden anderen durh Drehungen überführen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt in 2a) wird gezeigt, daß man keine Gleichverteilung hat, wenn der Großkreis ein Längenkreis ist und in 2b) wird gezeigt daß auf dem halben Großkreis eine Gleichverteilung ist (und daraus folgt dann mit Aufgabe 1, daß auch auf dem ganzen Großkreis Gleichverteilung herrscht)?


Das heißt Aufgabe 1 braucht man erstens für die Unabhängigkeit und zweitens für 2b), damit man weiß, daß der ganze Großkreis gleichverteilt ist?


Oder anders formuliert:

Aus Aufgabe 1 bekommt man die Verteilung für einen vollständigen Großkreis und einen halben Großkreis.

In Aufgabe 2 berechnet man auch die Verteilung eines vollständigen Großkreises und eines halben Großkreises (nur eben anders herum). Und Aufgabe 1 kann man für Aufgabe 2b) benutzen, um die Verteilung des halben Großkreises auszuweiten zur Verteilung auf dem ganzen Großkreis.


Somit hat man dann in 2a) und in 2b) zwei Großkreise mit unterschiedlichen Verteilungen.


Und was eigentlich nur interessiert sind die Verteilungen der beiden vollständigen Großkreise.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen (!) Dank für die Erklärung!

Dann versuche ich jetzt noch die Begründung dieses Phänomens zu verstehen.


Dazu poste ich dann wieder etwas, denke ich. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nach alledem jetzt diesen Satz nicht:

The paradox lies in the fact that a conditional distribution with respect to such an event is ambiguous unless it is viewed as an observation from a continuous random variable.



Kannst Du ihn mir vielleicht erklären, bitte?

Ist damit gemeint, daß einen das doppeldeutige Ergebnis so lange "verwirrt" bis man als Zufallsvariable ansieht (stetig, da sie noch von der ZV X abhängt, die stetig ist) und dann weiß, daß es in solchen Fällen, wo die bedingende ZV stetig ist, vorkommt, daß man auf Wahrscheinlichkeit 0 bedingt (und auch vorkommen darf, da man dafür maßtheoretische Definitionen hat) und daher ZV bis auf Nullmengen übereinstimmen können?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage:

Bei diesem Beispiel mit den Großkreisen, sind ja alle beteiligten Zufallsvariablen (Längen- und Breitengrad) stetig verteilt.


Tritt das Borel-Paradox nur bei stetigen Zufallsvariablen auf? Oder auch bei diskreten?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da das Problem auf Grenzübergängen beruht, sollte es bei diskreten Größen nicht auftreten.

Obigen englischen Satz kann ich auch nicht wirklich interpretieren. Meiner Meinung nach beruht das Paradoxon auf folgendem: Wenn man verbal von der bedingten Verteilung auf einem Großkreis spricht, hat man einen bestimmten Grenzübergang vor Augen, der darin besteht, dass man den Großkreis durch Parallelkreise einschließt und diese gegen den Großkreis konvergieren lässt. Wenn man das rechnerisch mit Kugelkoordinaten macht, geht man davon aus, dass das eine mathematische Umsetzung dieser Vorstellung ist. Das ist es aber bezüglich der Längenkreise nicht. Man schließt den betrachteten Längenkreis zwischen benachbarten Längenkreisen ein. Da diese aber im Nord- und Südpol zusammenlaufen, entsteht dadurch kein Parallelstreifen, sondern ein nach oben und unten keilförmiges Stück.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Und abgesehen von diesem konkreten Beispiel: Kann da das Borel-Paradox bei diskreten Größen auftreten?

Ich frage mich nämlich, wie man das Paradox ganz allgemein, ohne jetzt noch auf das Beispiel mit den Großkreisen Bezug zu nehmen, beschreiben kann.

Also in dem Sinne, dass man sagt:

"Das Paradox von Borel tritt immer dann auf, wenn..."


Ich würde das so vorschlagen:

"Das Paradox von Borel tritt immer dann auf, wenn man bedingte Wahrscheinlichkeiten (bzw. bedingte Erwartungswerte) berechnet und dabei auf Nullmengen bedingt."

Begründen würde ich das Paradox darin, dass die maßtheoretischen Definitionen der bedingten Wahrscheinlichkeit bzw. der bedingten Erwartung nur fast-sicher formuliert sind: Man spricht ja von sogenannten "Versionen" dieser Definitionen; wenn man nämlich auf Nullmengen bedingt, kann es zu unterschiedlichen Resultaten kommen.



Nun weiß ich, wie gesagt, nicht, ob ich im obigen Satz noch ergänzen müsste: "...wenn man stetige Größen..." oder ob diese Eingrenzung eben auch weggelassen werden kann, weil es bei diskreten Größen auch auftreten kann.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
"Das Paradox von Borel tritt immer dann auf, wenn man bedingte Wahrscheinlichkeiten (bzw. bedingte Erwartungswerte) berechnet und dabei auf Nullmengen bedingt."

Begründen würde ich das Paradox darin, dass die maßtheoretischen Definitionen der bedingten Wahrscheinlichkeit bzw. der bedingten Erwartung nur fast-sicher formuliert sind: Man spricht ja von sogenannten "Versionen" dieser Definitionen; wenn man nämlich auf Nullmengen bedingt, kann es zu unterschiedlichen Resultaten kommen.

Es würde mir leichter fallen dem zuzustimmen, wenn du die Aussage konkretisieren und präzisieren würdest. Sonst reden wir vielleicht aneinander vorbei.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es fällt mir schwer das zu präzisieren.

In dem Wikipedia-Artikel zum Borel-Paradox steht ja, dass das Paradox mit bedingten Wahrscheinlichkeiten bei Bedingung auf Nullmengen zu tun hat.

Und dann habe ich mir die allgemeine Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit angesehen bzw. mich an sie erinnert und dort heißt es, daß diese Definition eindeutig bis auf Nullmengen ist und daß man die verschiedenen Ausprägungen dieser Definition, die bis auf Nullmengen identisch sind (im Billingsley steht: mit Wahrscheinlichkeit 1, aber das ist meines Wissens nur eine andere Sprechweise für "fast-sicher"), Versionen nennt.


Und dann habe ich mir gedacht, daß der Knackpunkt des Borel Paradoxes also anscheinend die Nullmengen sind.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
In dem Wikipedia-Artikel zum Borel-Paradox steht ja, dass das Paradox mit bedingten Wahrscheinlichkeiten bei Bedingung auf Nullmengen zu tun hat.

Ich weiß, dass das da steht. Aber wenn du das einfach abschreibst, kann ich nicht erkennen, ob du damit eine Vorstellung verbindest, weshalb das so ist, und falls ja, welche Vorstellung du damit verbindest? Darauf geht der Wiki-Artikel ja nur knapp ein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Borel Paradox
Nochmal eine Frage und zwar nochmal zum Aufbau der Aufgabe.




Bei Aufgabe 1 zeigt man, daß ein Punkt auf dem Äquator (das ist ein Großkreis) gleichverteilt ist, ein Punkt auf dem Nullmeridian (das ist ein halber Großkreis) jedoch nicht.

Bei Aufgabe 2 zeigt man, daß ein Punkt auf dem gesamten Nullmeridian (das ist ein Großkreis) nicht gleichverteilt ist, ein Punkt auf dem halben Äquator jedoch schon.




Wozu dieser ganze Umstand. NUR Aufgabe 1 oder NUR Aufgabe 2 würde doch auch reichen...
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