Beweis für Betrag eines Vektors in n-Dimensionen

13.05.2012, 14:35	0Jannik0	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Betrag eines Vektors in n-Dimensionen Wir beschäftigen uns in der Schule zurzeit mit analytischer Geometrie, sprich Vektoren. Der Beweis zur Formel zum Betrag eines Vektors lief über den Satz des Pytagoras ab, an sich keine schwere Sache. Ich habe dann direkt gefragt, ob diese Formel auch für beliebige Dimensionen gilt, also statt $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \vec{a} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Verallgemeinerung auf $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n a_{i}^{2} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Jedoch wusste meine Lehrerin auch nicht wie das abläuft, sie meinte wahrscheinlich eine Zurückführung auf 2 bzw. 3 Dimensionen und dann den Pytagoras anwenden. Wie also läuft dieser Beweis ab?
13.05.2012, 16:57	Schildhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
naja der Schule ist die Norm ja sehr anschaulich erklärt , heißt du zeichnest ne linie kannst diese dann in ein dreieck einfügen und bekommst die Länge deiner linie durch den Phytagoras. Das funktioniert dann auch noch im R^3. Wie sieht das ganze jedoch im R^4 aus? da gibt es keine Linie mehr die dir das veranschaulichen kann. Weil es aber in höherdimensionalen Vektorräumen auch noch strukturen gibt die an einen Betrag bzw die Länge errinern kann man diese Strukturen durch bestimmte eigenschaften abstrakt definieren. (sry für die Latexverweigerung aber ich hab net soviel Zeit um mich mit Latex anzufreunden) in der Schule lernt ihr das innere Produkt < , >:R^2 x R^2 --> R kennen (skalarprodukt). Die Länge eines Vektors ist in der Schule also sqrt(<a,a>) dies gilt natürlich für alle Dimensionen also ist deine Vermutung schon richtig sprich, sei <,>:R^n x R^n -->R ein inneres Produkt über R dann bildet sqrt(<a,a>) eine Norm in diesem euklidischen Raum. (Länge kann man es nicht wirklich nennen da es im R^n ja keine "Längen" gibt). Diese Norm erfüllt bestimmte Eigenschaften die das Arbeiten in solchen n-dimensionalen VR ermöglicht. Jedoch gibt es sehr sehr viele innere Produkte weshalb es auch ebensoviele Normen gibt. Von daher ist dein Beweis eigentlich hinfällig da du einfach die Norm eigenschaften nachprüfen könntest und dann weißt dass du eine Norm hast . Falls dich das alles nicht interessiert hat und du einfach nur den Beweis machen willst dann müsste es eig über Induktion gehen, wie aber schon gesagt ist der Beweis Banane da du weißt das du ein inneres Produkt hast und dann ist die Norm darüber nach der Definition eine Norm. Betrag des Vektors sagt man so eig nicht. EDIT: Du solltest echt darüber nachdenken Mathe zu studieren wenn du schon über solche Sachen nachdenkst bzw. falls dir abstraktes Denken spaß bereitet

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