2 Fragen zur Integralrechnnung + Achsensymmetrie |
| 13.05.2012, 12:57 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 2 Fragen zur Integralrechnnung + Achsensymmetrie Hallo 1.) Also ich muss zeigen, dass F(x)= 1/2 [sin(x)*cos(x)+x] eine Stammfunktion von f mit f(x)=[cos(x)]^2. 2.) Zeigen Sie, dass für eine auf ganz IR definierte Funktion f mit einer Stammfunktion F gilt: Ist der Graph von F punktsymmetrisch zur Ursprung, so ist der Graph von f symmetrisch zur y-Achse. Meine Ideen: Zu 1.) Ich habe also versucht F(x) abzuleiten, doch ich komme immer nur darauf: F'(x)= 1/2 (-sin(x)^2 + cos(x)^2 +1) Keine Ahnung wie man da auf cos(x)^2 kommt. Zu 2.) Ich habe vorher einen Graphen auf Symmetrie untersucht mithilfe von f(-x)=-f(x) (Punktsymmetrie) und f(-x)=f(x) (Achsensymmetrie) Getestet habe ich den Satz mit f(x)=x^2 und F(x)=x^3/3. Aber wie soll ich das zeigen? Wieder mit den "Formeln" oben? Danke für jede Hilfe. |
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| 13.05.2012, 13:32 | Kedor_Laomer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1. kann ich dir leider nicht weiterhelfen, da steh ich auch auf dem Schlauch. Zu 2. : Ganzrationale Funktionen können als Polynome dargestellt werden. für X^(2n) gilt, dass sie achsensymetrisch zur Y-Achse sind. (-x*-x)=x*x fürX^(2n+1) gilt, dass sie punktsymetrisch zum Ursprung sind. (-x*-x*-x)=-(x*x*x) Beim Ableiten wird aber jede Potenz gerade um 1 niedriger. Daher: wenn man ein Polynom hat, welches nur gerade Potenzen enthält und somit achsensymetrisch ist, dann hat die Ableitung nur ungerade Potenzen und ist daher punktsymetrisch. Andersherum genauso. |
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| 13.05.2012, 13:42 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, das 2. hab ich verstanden und macht auch Sinn. Ich danke dir! Fehlt nur noch ein Ableitungsexperte 
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| 13.05.2012, 13:45 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erinnere dich an den trigonometrischen Pythagoras und ersetze die 1 
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| 13.05.2012, 13:54 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achsooooooo sin²(x) + cos²(x) = 1 Dann fällt sin²(x) weg und die 2cos²(x) werden mit 0,5 mal genommen, so dass cos(x)² übrig bleibt Welcher normale Mensch kommt darauf? 
Nicht, dass Du unnormal wärst ( 
), aber ich würde nieeee dadrauf kommen!Danke! |
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| 13.05.2012, 13:55 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sticht doch regelrecht ins Auge 
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| 13.05.2012, 14:33 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich bins wieder
ich habe noch 2 weitere kleine Fragen, hoffentlich könnt ihr mir helfen. 
1. Formulieren und begründen Sie eine entsprechende Aussage für den Fall, dass der Graph der Stammfunktion symmetrisch zur y-Achse ist. Meine Gedanken: Das geht doch nicht, wegen der Begründung von gerade. Die Stammfunktion wird doch immer um eine Potenz höher. f(x)=x². F(x)=1/3x^3+c f(x)=1/3x^3 -> F(x)= 1/12x^4. Ok, das wäre symmetrisch zur y-Achse. Aber was für ne andere Aussage soll dahinter stecken? 2. Ist der Graph einer Funktion f symmetrisch zur y-Achse, so ist der Graph einer Stammfunktion von F punktsymmetrisch zum Ursprung. Meine Gedanken: Muss doch nicht sein, weil das c den Graphen verschiebt, oder? Ich hoffe ich bekomme nochmal Hilfe 
Danke! |
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| 13.05.2012, 14:42 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch fast das gleiche wie vorher bei der 2.? Zu der neuen 2.. Ja das ist richtig. Aber es gibt auch eine Stammfunktion, wo das c entsprechend so gewählt ist, dass wir eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion haben
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| 13.05.2012, 14:52 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1.) Ja, das ist jetzt genau andersrum, deswegen verstehe ich das nicht so ganz
zu 2.) Würdest du mir einen Tipp geben, damit ich auf die Stammfunktion komme? |
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| 13.05.2012, 15:00 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja eigentlich brauchst du doch die Aussage von Kedor nur rückwärts zu lesen
.Das hattest du doch verstanden.
Das formuliere nun für unser Problem. Die 2(neu). hilft bei der 2(alt).
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| 13.05.2012, 15:08 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man ein Polynom hat, welches nur ungerade Potenzen enthält und smit punktsymmetrisch ist, dann hat die Ableitung nur gerade Potenzen und ist daher achsensymmetrisch. So richtig? Bei der 2. bin ich nicht schlauer geworden. Das ganze Forum lacht mich wahrscheinlich aus
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| 13.05.2012, 15:30 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt hast du die 2(alt) nochmals wiederholt :P. Wir haben doch aber eine Achsensymmetrische Stammfunktion
.Aber wie gesagt, die Argumentation ist prinzipiell die Gleiche. Begründung solltest du halt noch bringen, wie es Kedor getan hat: Beim Ableiten wird (...) jede Potenz gerade um 1 niedriger. 2. Hast du eine Symmetrie zur y-Achse wie verlangt, so haben wir festgestellt (bei 2(alt)), dass die Stammfunktion ungerade sein muss. Da c beliebig ist, gibt es eine Stammfunktion mit Punktsymmetrie, nämlich genau wenn c=0. Kontrolliere das
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| 13.05.2012, 15:59 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim "aufleiten" wird jede Potenz um 1 höher? 2.) f(x)=x^2 F(x)=1/3x^3 + c Sorry ich mache grade seit 4 Stunden diese HA's (die eig noch Zeit haben, aber ich will sie fertig haben) und ich kann die einfachsten Sachen nicht.. |
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| 13.05.2012, 16:01 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es heißt "integrieren". "Aufleiten" gibt es nicht. Ja, das ist richtig. Und für c=0 haben wir Punksymmetrie am Ursprung. Klappt doch ganz gut
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| 13.05.2012, 16:08 | bommel8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wars dann? Ich hab grad echt die * voll von Mathe (Ist bestimmt n Todesurteil hier im Forum das zu sagen), aber es ist echt so.. ich bedanke mich bei dir, dass du dir so viel Mühe gegeben hast! Danke auch an Kedor_Laomer |
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| 13.05.2012, 16:15 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast die 1(neu) noch nicht gemacht. Oder war die dann klar? Aber ja, ich denke zur 2(neu) ists ausreichend. Das Prinzip sollte klar sein. |
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