Eigenschaften der Frobenius-Norm beweisen

13.05.2012, 17:21	kiarashayla84	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften der Frobenius-Norm beweisen Meine Frage: Hallo, ich habe wiedermal eine Aufgabe, die ich alleine nicht hinbekomme =( Also die Aufgabe lautet: Zeigen sie folgende Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_{F}^{2} = spur (A^T A)= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i (A^T A) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Den 1. Teil der Aufgabe habe ich schon gezeigt, also $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_{F}^{2} = spur (A^T A) \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} spur (A^T A)= \sum\limits_{i=1}^n (A^T A)_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{ij}a_{ij}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{ij}^2=\|\|A\|\|_{F}^{2} \end{eqnarray}$ soo...hoffe das der Teil auch richtig ist! Aber wie zeig ich das $\begin{eqnarray} spur (A^T A)= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i (A^T A) \end{eqnarray}$ bitte um Hilfe =)
14.05.2012, 18:37	kiarashayla84	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften der Frobenius-Norm beweisen Kann mir denn keiner helfen =(
14.05.2012, 19:10	Crisp	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sehen denn die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ aus?
14.05.2012, 19:33	kiarashayla84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \lambda_{max} (A^T A) \end{eqnarray}$ größte EW ist. Aber so richtig weiter bringt mich das auch nicht
14.05.2012, 19:40	Crisp	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, der Beweis hat nichts mit der Spektralnorm zu tun. Von daher ist $\begin{eqnarray} \lambda_{max} \end{eqnarray}$ uninteressant. Schreibe doch einfach mal das Produkt von $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ als Matrix auf. Was kann man sehen? Und was sind die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ ?

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