Punktweise Konvergenz von Funktionenreihen

13.05.2012, 17:29

Jix

Punktweise Konvergenz von Funktionenreihen

Meine Frage:
Hallo.

Ich überlege jetzt seit geraumer Zeit an einer Aufgabe herum und weiß wirklich nicht, wie ich an sie herangehen soll:

Folgende Funktionenreihen sollen auf punktweise Konvergenz untersucht werden:

i) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{\sqrt{n!}} \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^{n} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ gilt und dass das für |x| < 1 konvergiert, und dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} = e^{1} \end{eqnarray*}$ ist. Aber was fange ich dann noch mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n!} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ an?

Und bin ich da überhaupt auf der richtigen Spur? Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ähnlich die punktweise Konvergenz von Funktionenreihen der punktweisen Konvergenz von Funktionenfolgen ist,

13.05.2012, 23:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jix
und dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} = e^{1} \end{eqnarray*}$ ist. Aber was fange ich dann noch mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n!} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ an?

Durch die Bank weg grober Unfug:

Erstens ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} = \infty \end{eqnarray*}$ , du meinst stattdessen wohl eher $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} = e^{1} \end{eqnarray*}$ .

Und nach den letzten beiden Reihen fragt nicht wirklich jemand, hier hast du einfach nur x=1 in die Potenzreihen eingesetzt, was eigentlich ohne jeden Sinn hinsichtlich der eigentlich anstehenden Berechnung der Konvergenzradien ist. verwirrt

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