Suche Punktkoordinaten im Weltkoordinatensystem

13.05.2012, 17:55	Zirkon	Auf diesen Beitrag antworten »
Suche Punktkoordinaten im Weltkoordinatensystem Hallo, vorweg: Ich bin kein Schüler und hatte auch keine Vektorrechnung in der Schule, was wahrscheinlich das Problem ist . Jedenfalls stehe ich vor dem folgenden Problem, vielleicht kann mir ja trotzdem jemand weiterhelfen: Ich habe 2 Koordinatensysteme. Eines davon ist als "Weltkoordinatensystem" definiert. Von dem zweiten Koordinatensystem kenne ich 3 Punkte, darunter den Ursprung, und kenne darum die Lage des Koordinatensystem im Weltkoordinatensystem? Außerdem gibt es einen Punkt P4, dessen Koordinaten ich kenne. Von diesem P4 suche ich nun die Koordinaten im Weltkoordinatensystems. Problem hierbei ist, dass das Koordinatensystem um alle drei Achsen verdreht und verschoben ist. Ich habe auch gelesen, man solle einen Ansatz hier mit aufführen, allerdings bin ich etwas ratlos, habe also keinen. Meine bisherigen Recherchen haben nur ergebene, dass es wohl mit Vektoren, Matrizen usw. zusammenhängt. Für die Übersicht habe ich die Sache noch in eine kleine Skizze gepackt: [attach]24490[/attach] Naja, soweit mein Problem. Danke schon im voraus! Edit opi: Dateianhang eingefügt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.
14.05.2012, 01:48	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche Punktkoordinaten im Weltkoordinatensystem Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe: P1-P4 sind in Weltkoordinaten also x,y und z gegeben? Du suchst die neuen Koordinaten in u,v,w? Für *diesen Fall* bestimmst du zunächst die Vektoren parallel zu den Achsen des neuen Koordinatensystems: $\begin{eqnarray} \vec{w}=\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}=P_2-P_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{u}=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}=P_3-P_1 \end{eqnarray}$ Der fehlende dritte Vektor steht zu den anderen beiden senkrecht und bildet mit ihnen ein Rechtssystem, das heißt, $\begin{eqnarray} \vec w\,, \vec u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand $\begin{eqnarray} \vec{v}=\begin{pmatrix} w_2u_3-w_3u_2 \\w_3u_1-w_1u_3 \\ w_1u_2-w_2u_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bildet er mit $\begin{eqnarray} \vec w\,, \vec u \end{eqnarray}$ kein Rechtssytem, also zeigt $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ in die entgegengesetzte Richtung wie der Mittelfinger, änderst du die Vorzeichen der drei Koordinaten von $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ . Das hängt davon ab, welche Achse aus X,Y und Z hervorgeht. Um hinterher zu normieren, berechnet man die Längen der Vektoren : $\begin{eqnarray} l_w=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2},l_u=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},l_v=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} \vec{p}=P4-P1=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ergeben sich die neuen Koordinaten W,U,V wie folgt: $\begin{eqnarray} W=\frac{p_1w_1+p_2w_2+p_3w_3}{l_w} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U=\frac{p_1u_1+p_2u_2+p_3u_3}{l_u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V=\frac{p_1v_1+p_2v_2+p_3v_3}{l_v} \end{eqnarray}$ Für den *anderen Fall* (P1-P3 in x,y,z aber P4 in U,V,W) gilt: $\begin{eqnarray} X=\frac{Uu_1}{l_u}+\frac{Vv_1}{l_v}+\frac{Ww_1}{l_w}+x_{p1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y=\frac{Uu_2}{l_u}+\frac{Vv_2}{l_v}+\frac{Ww_2}{l_w}+y_{p1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z=\frac{Uu_3}{l_u}+\frac{Vv_3}{l_v}+\frac{Ww_3}{l_w}+z_{p1} \end{eqnarray}$

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