Produkt zweier Integrale

13.05.2012, 18:48

JaninaUU

Produkt zweier Integrale

Meine Frage:
Hallo an alle.
Ich tu mir gerade ein wenig schwer diesen Satz zu beweisen.

Wenn $\begin{eqnarray*} I=[a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ gilt für zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g:I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ beide Riemann-integrierbar und monoton nicht fallend:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx * \int_a^b \! g(x) \, dx \leq (b-a)\int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir haben kürzlich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k\right) \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k \right) \leq n \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a_1\geq a_2 \geq ...\geq a_n\geq 0, b_1\geq b_2 \geq ...\geq b_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Das ganze schreit mir ja nach Riemannsummen. Aber ich hab mit dem letzten Satz meine Probleme.
Wenn ich den Ansatz mache, dass $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n f(x_k)|I_k| \end{eqnarray*}$ ist, dann hab ich das Problem, dass die Aufgabenstellung nicht ausschließt, dass die Summanden negativ werden können. Somit komm ich dann nicht weiter.

Habt ihr ne Idee für mich? Wäre echt top!

13.05.2012, 19:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JaninaUU
Wir haben kürzlich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k\right) \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k \right) \leq n \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a_1\geq a_2 \geq ...\geq a_n\geq 0, b_1\geq b_2 \geq ...\geq b_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Aus dem Beweis dessen könntest du eigentlich schließen, wie auch hier der Hase läuft:

Aus der Monotonie der beiden Funktionen folgt

$\begin{eqnarray*} (f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \geq 0 \qquad \forall\, x,y\in I \end{eqnarray*}$

Jetzt über $\begin{eqnarray*} x,y\in I \end{eqnarray*}$ integrieren (d.h. Doppelintegral) - das ist wesentlich stressfreier als eine elend langwierige Diskussion über Riemannsummen, deren Konvergenz usw. ... Augenzwinkern

13.05.2012, 19:36

JaninaUU

Auf diesen Beitrag antworten »

Meint du, dass ich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \int_a^b \! (f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ berechnen soll verwirrt

Wie mach ich denn das? Da taucht ja nirgends die Ableitung auf, sodass ich Partiell Integrieren könnte...
(Sorry, wir haben noch keine Doppelintegrale besprochen)

13.05.2012, 19:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JaninaUU
Da taucht ja nirgends die Ableitung auf, sodass ich Partiell Integrieren könnte...

Alles unnötig. Anscheinend muss ich auch (fast) den ganzen Rest verraten - dabei dachte ich, du kennst den Summenbeweis und kannst den analog übertragen. unglücklich

$\begin{eqnarray*} 0\leq \int\limits_a^b \int\limits_a^b (f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_a^b \int\limits_a^b f(x)g(x) ~ \dd x ~ \dd y ~-~ \int\limits_a^b \int\limits_a^b f(y)g(x) ~ \dd x ~ \dd y ~-~ \int\limits_a^b \int\limits_a^b f(x)g(y) ~ \dd x ~ \dd y ~+~ \int\limits_a^b \int\limits_a^b f(y)g(y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

13.05.2012, 20:05

JaninaUU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok...
Du versuchst, dass die Behauptung nacher in der Form

$\begin{eqnarray*} 0\leq%20(b-a)\int_a^b%20\!%20f(x)g(x)%20\,%20dx-\int_a^b%20\!%20f(x)%20\,%20dx%20*%20\int_a^b%20\!%20g(x)%20\,%20dx%20 \end{eqnarray*}$

dasteht.

Der erste Summand passt ja schon mal, denn $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \, dy = (b-a) \int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ weil ja das innere Integral nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt.

Aber wie soll ich aus den restlichen drei Summengliedern das ursprüngliche Produkt aus Integralen machen?

(Den Beweis kenn ich leider nicht traurig

)

13.05.2012, 20:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JaninaUU
(Den Beweis kenn ich leider nicht

Es sind simpelste Integralumformungen, wie Konstanten herausziehen, usw. - zumal du ja das Ergebnis quasi schon kennst.

Du könntest dir wirklich mal ein bisschen mehr Mühe geben. böse

P.S.: Falls du zu den symbolfixierten Personen gehören solltest: Es macht nicht den geringsten Unterschied, ob man $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b h(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b h(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ oder vielleicht auch $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b h(\zeta) ~ \dd \zeta \end{eqnarray*}$ schreibt, es ist in allen Fällen derselbe Wert. Also solltest du nach dem ersten Summanden oben zumindest auch den letzten Summanden "hinkriegen".

Neue Frage »

Antworten »

Produkt zweier Integrale

Verwandte Themen