Integral über ein Produkt von Polynomen

13.05.2012, 18:54

Yakmiras

Integral über ein Produkt von Polynomen

Moin!

Zu zeigen ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} I_{n,m}:=\int_{-1}^{1} (x+1)^n(x-1)^mdx = (-1)^m\frac{2^{m+n+1}n!m!}{(n+m+1)!} \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist gegeben: Betrachten Sie zuerst den Fall m=0. Ich habe versucht, da mit Induktion ranzugehen. Wenn man nach dem Hinweis geht, stimmt es ja für m=0, d.h. wenn man ne Induktion über m schafft, hat man ja gewonnen. Nur führt das alles zu nichts.

Hat jemand Tipps, wie man da sinnvoll rangeht oder bei der Induktion weiterkommt?

Danke.

13.05.2012, 19:28

HAL 9000

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Nun, mit partieller Integration sollte der Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} m\to m+1 \end{eqnarray*}$ zu bewältigen sein. Also Hinweis: Die per Induktion zu beweisende Aussage sollte dabei aber

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(m):\quad \int\limits_{-1}^{1} (x+1)^n(x-1)^m ~ \dd x = (-1)^m\frac{2^{m+n+1}n!m!}{(n+m+1)!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$

lauten, d.h. nicht nur für ein festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern parallel für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

13.05.2012, 21:03

Yakmiras

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Okay, das mit dem n hab ich mir auch gedacht. smile

Dennoch, ich komme mit partieller Integration immer noch auf nichts. Was schlägst du denn für u und v' vor? Ich habe gerade echt viele Möglichkeiten ausprobiert und komme nicht einmal auf etwas, wo ich die Induktionsannahme verwenden kann.

Die Induktionsannahme lautet dann ja, es gelte für ein $\begin{eqnarray*} m\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}(x+1)^{n}(x-1)^{m}dx=\frac{2^{m+n+1}n!m!}{(n+m+1)!}. \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich beispielsweise ansetzen

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}(x+1)^{n}(x-1)^{m+1}dx=\int_{-1}^{1}(x+1)^{n}(x-1)^{m}(x-1)dx \end{eqnarray*}$

Wie auch immer ich jetzt u und v setze (Jedenfalls sehe ich keine weiteren Möglichkeiten), ich komme auf keinen grünen Zweig.

Hast Du da noch einen Tipp für mich?

13.05.2012, 21:18

HAL 9000

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Nun, ich dachte bezogen auf

Zitat:

Original von Yakmiras
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}(x+1)^{n}(x-1)^{m+1}dx \end{eqnarray*}$

schlicht und einfach an

$\begin{eqnarray*} u' = (x+1)^n, \quad v=(x-1)^{m+1} \end{eqnarray*}$

mit dann

$\begin{eqnarray*} u = \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}, \quad v'=(m+1)(x-1)^m \end{eqnarray*}$ .

Ist diese Idee so ungewöhnlich? verwirrt

14.05.2012, 23:13

Yakmiras

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Ungewöhnlich ist sie keinesfalls, die hatte ich auch als eine der ersten ausprobiert. Allerdings hatte ich da einige Sachen übersehen, weswegen es nicht hingehauen hat. Naja jedenfalls ist die Lösung ja im Endeffekt doch ziemlich einfach!

Danke Dir! smile

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