Bedeutung des Vorzeichens beim Abstand einer Ebene vom Ursprung und andere Abstandsprobleme

13.05.2012, 22:50

Serena123

Bedeutung des Vorzeichens beim Abstand einer Ebene vom Ursprung und andere Abstandsprobleme

Liebe Matheprofis,

ich habe ein paar Fragen zum Abstand vom Urspung und wäre unendlich dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
ich habe gesehen, dass diese Frage schon mehrmals in ähnlicher Ausführung gestellt wurde, aber mir geht es nicht direkt um das Vorzeichen beim Abstand einer Ebene von einem Punkt und dessen Lage zwischen Ursprung und Ebene oder auf der anderen Seite der Ebene, sondern ich habe eine Frage zur Ausrichtung des Normalenvektors, die man wohl auch aus dem Vorzeichen ableiten können müsste.

Folgendes ist meine Frage:
Die Abstandsberechnung einer Ebene vom Ursprung macht man ja z.B. mit der Normalenform in der der Normalenvektor durch den Normaleneinheitsvektor ersetzt ist.

Also:

$\begin{eqnarray*} 0= \vec{nO} *\vec{x} -\vec{nO} *\vec{a} \end{eqnarray*}$

Meine erste Frage wäre: Benutze ich überhaupt diese Formel? (Ich weiß, dass es auch mit der HNF in KO Form geht, aber das kommt später noch).
Kann man das letzte Glied durch d ersetzen?

$\begin{eqnarray*} 0= \vec{nO} *\vec{x} -d \end{eqnarray*}$

Falls man das so machen könnte: Wenn d negativ ist, z.b. -7, dann würde es ja in die Formel eingesetzt +7 ergeben, wegen dem negativen Vorzeichen vor d. Ich habe nun gelesen, dass in einem solchen Fall der Normalenvektor zum Ursprung weisen sollte. Stimmt das? Wenn ich nun d=7 hätte, eingesetzt in die Formel also -7, würde der Normalenvektor vom Ursprung weg weisen. Stimmt das soweit? Warum ist das so? Wie kann ich mir das graphisch vorstellen? Gibt es da eine schöne Abbildung im Internet zu?

Ein Beispiel:
Wenn ich mir jetzt einen Normalenvektor ausdenke z.B(2/3/2) und ihn durch seine Länge teile, bekomme ich ja den Normaleneinheitsvektor. $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ wäre der Ursprung (0/0/0). $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist (1/1/1). Das wäre dann eingesetzt: (Skalarprodukt aus Ortsvektor und Normalenvektor müsste d einsprechen)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{17} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{17} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

Habe ich das soweit richtig gemacht? Wäre dann der Abstand zum Ursprung ca. "-1,698" L.E.? Und vor allem was sagt das negative Ergebnis über die Lage des Normalenvektors? Weist er nun zum Ursprung hin? Kann man aus einem positiven/negativen Abstand noch etwas anderes herausfinden? Oder ist in diesem Fall der Abstand (abgesehen davon, dass er in der Realität ja sowieso positiv ist) 1,698 da es ja aus der Formel - d entnommen wurde?

Und meine letzte Frage:
Wie sähe das mit der KO-Form aus?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{17} } \end{eqnarray*}$ *(2*x1 + 3*x2 +2*x3) = d* $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{17} } \end{eqnarray*}$
Hierbei verunsichert mich das d. Es ergibt sich ja aus dem Skalarprodukt aus Normalenvektor und Ortsvektor. Soll es erst auf die andere Seite gebracht werden oder wird mit der Form:
2*x1 +3*x2 + 2*x - d = 0 oder 2*x1 + 3*x2 + 2*x + d=0 gerechnet? Ich habe leider im Internet beide Formeln gefunden und bin mir nun nicht sicher was ich für d einsetze: -7 oder 7... Oder entspricht d * dem Kehrwert der Länge des Normalenvektors schon dem Ergebnis?
Und nun bin ich auch verwundert, weil ich zwei verschiedene Ergebnisse herausbekomme.. Mit der KO Form und dem Ursprung als Vektor x ergibt sich ja d = 0 ?
Also, wenn jemand die richtige Formel für die Abstandsberechnung vom Ursprung wüsste, wäre mir sehr weitergeholfen!

Es tut mir leid, dass der Beitrag so lang geworden ist, aber ich wollte Missverständisse vermeiden. Vielen Dank schon mal für die Hilfe!!

14.05.2012, 00:31

Dopap

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es ist nicht schwer:

bei E: $\begin{eqnarray*} ax+by+cz =k \end{eqnarray*}$

Bedeutet k gar nichts!

Wenn aber $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2+b^2+c^2}=1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist k der Abstand zum Urpsprung!

um es mal auf den Punkt zu bringen!

14.05.2012, 00:39

Dopap

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noch Eines:

wird so normiert, dass k >0 ist, dann zeigt der Normalenvektor in "Richtung" Ebene.

14.05.2012, 09:11

Gualtiero

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Zitat:

Original von Dopap

bei E: $\begin{eqnarray*} ax+by+cz =k \end{eqnarray*}$

Bedeutet k gar nichts!

Da bin ich anderer Meinung. Wenn u der Abstand der Ebene vom Ursprung ist, dann gilt hier: $\begin{eqnarray*} u=\frac{k}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*}$

Damit ist auch der angeführte Spezialfall $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=1 \end{eqnarray*}$ abgedeckt.

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