Homomorphismen und Nebenklassen

14.05.2012, 07:03	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismen und Nebenklassen Meine Frage: Sei K ein Körper und V,W zwei endlich-deimensionale K-Vektorräume und $\begin{eqnarray} \alpha \in Hom_{K}(V,W) \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus. Für ein Element $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ bezeichne ferner [v] die entsprechende Nebenklasse in $\begin{eqnarray} V/Kern(\alpha) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie dass es genau einen injektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray} \beta \in Hom_{K}(V/Kern(\alpha),W) \end{eqnarray}$ derart gibt, dass: $\begin{eqnarray} \beta([v])= \alpha(v) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also ich muss sagen, dass ich sowohl aus Vorlesung als auch diversen Internetrecherchen nicht schlau werde. Könnte mir jemand erklären wie ich das beweisen soll? Ein Ansatz wäre schön
14.05.2012, 07:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass es nur einen gibt, ist doch klar: Erzeugen $\begin{eqnarray} v_1, \cdots, v_s \end{eqnarray}$ den VR V, so erzeugen $\begin{eqnarray} [v_1], \cdots, [v_s] \end{eqnarray}$ den VR $\begin{eqnarray} V/Kern(\alpha) \end{eqnarray}$ . Also legt $\begin{eqnarray} \beta([v]) = \alpha(v) \end{eqnarray}$ den Homomorphismus eindeutig fest. Oder anders gesagt: Durch $\begin{eqnarray} \beta \circ [.] = \alpha \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ eindeutig festgelgt, da $\begin{eqnarray} [.] \end{eqnarray}$ surjektiv ist, folglich eine Rechtsinverse besitzt. Zu zeigen ist also Wohldefiniertheit und Injektivität. Zeige dazu: $\begin{eqnarray} [v] = [v'] \Longleftrightarrow \alpha(v) = \alpha(v') \end{eqnarray}$ Diese beiden Richtungen (Also hin und zurück) zweigen jeweils eine der beiden Sachen, die noch zu zeigen sind. Welche Richtung was zeigt, darfst du noch selbst herausfinden. Edit: Die Linearität wäre streng genommen auch noch zu zeigen.
14.05.2012, 19:05	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid ich seh was ich zeigen soll, aber ich wüsste dabei keinen ansatz wo fang ich da an?? das ist immer mein hauptproblem ich weiß eigentlich meistens was ich zeigen soll aber wo ich da anfange ist mein problem... sry hast du noch nen tipp/ansatz? bitte

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