Konvergenzradius Kosinus berechnen

14.05.2012, 11:00

Kmac

Konvergenzradius Kosinus berechnen

Guten Morgen zusammen,

schon den ganzen Morgen versuche ich den Konvergenzradius des Kosinus mittels folgender Formel: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n}}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Nur allerdings gelingt es mir nicht!!

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} cos(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k*\frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

um auf die Form: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$ zu kommen, substituiere ich z=x^2

und bekomme somit: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k*\frac{z^{k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

nun setzte ich in die obere Formel ein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{(-1)^{k} * (2k+2)!}{(2k)!*(-1)^{k+1} } | \end{eqnarray*}$

soweit sogut, glaube ich.

ABER NUN:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{ (2k+2)!}{(2k)!*(-1) } | =\lim_{k \to \infty } \frac{ (2k+2)!}{(2k)! } =\lim_{k \to \infty } ((2k+2)*(2k+1)) \end{eqnarray*}$

So jetzt kann es natürlich sein, dass die letzte Gleichung nicht stimmt??? aber ich wüsste nicht, wie ich sonst kürzen soll.
Angenommen sie stimmt und ich setze nun k->unendlich ein, dann folgt daraus, dass der Term gegen unendlich geht. Was heissen würde, dass der Konvergenzradius gleich 0 ist.Was aber nicht stimmt. Kann es sein, dass ich hier nochmal die Substitution berücksichtigen muss? aber wie???

oder kann ich hier diese Methode garnicht anwenden und muss das Quotientenkriterium anwenden? oder Cauchy-Hadamard??

Danke für alle Hilfe!
kmac

14.05.2012, 11:20

Valdas Ivanauskas

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RE: Konvergenzradius Kosinus berechnen
Für

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^n \end{eqnarray*}$

hast Du

$\begin{eqnarray*} \left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right|=(2n+1)(2n+2). \end{eqnarray*}$

So weit so gut.
Nun solltest Du erwägen, dass diese Reihe den Kgz-Rad. 'Unendlich' haben könnte.

14.05.2012, 11:41

Kmac

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Hallo Valdas Ivanauskas,

Ich habe gerade meinen Fehler entdeckt. In meiner Mitschrift habe ich die Indizes vertauscht (also Quotientenkrit. mit Euler-Konvergenzkriterium durcheinander gebracht). Hammer

(für alle, die mal das gleich Problem haben: hier habe ich es richtig aufgeschrieben!!nur in der Mitschrift und meinem Kopf war es durcheinander)

bringe ich die Indizes richtig, so folgt natürlich aus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left|\frac%20{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n \to \infty }(2n+1)(2n+2) \end{eqnarray*}$ dass der Term gegen unendlich geht.

Und somit der Konvergenzradius unendlich ist.

Noch eine Frage: Muss ich irgendwie Rücksubstituieren???

Vielen Dank Valdas Ivanauskas!

14.05.2012, 12:51

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Kmac
Noch eine Frage: Muss ich irgendwie Rücksubstituieren???

Rein formal schon - auch wenn sofort klar ist, dass das nichts ändert.

Alternativ könntest Du die Formel von Cauchy-Hadamard nutzen und Dir damit diese Substitution ersparen.

14.05.2012, 20:05

Kmac

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Hallo nochmal Valdas Ivanauskas,

wieso muss ich bei Cauchy-Hadamard nicht substituieren???

Es heisst doch: Es sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge komplexer Zahlen und $\begin{eqnarray*} L:= limsup\sqrt[n]{|a_{n} |} \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} z^{n} \end{eqnarray*}$ gegeben durch L^(-1).

Naja, so scheint es für mich, dass ich trotzdem substituieren soll, oder wieso meintest du, dass man nicht mehr substituieren braucht?

2. Wie Rücksubstituiere ich im vorheringen Fall? Was muss ich da machen. Ich habe gar keinen Ansatz dafür, bin total Ideen los. Wäre nett, wenn du mir da nochmal helfen könntest!

Danke,
kmac

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