Fehlerfunktion erf(x)

14.05.2012, 14:16

runk03

Fehlerfunktion erf(x)

Meine Frage:
Hallo liebe Mathe-Experte. Ich habe gerade mit der Fehlerfunktion erf(x) zu tun und habe folgendes Problem. In den meisten Quellen (z.B. Wiki) wird sie folgendermaßen definiert:
1) $\begin{eqnarray*} erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \! e^{-t^2} \, dt \end{eqnarray*}$
Manchmal sieht die Definition aber etwas anders aus, und zwar
2) $\begin{eqnarray*} erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \! e^{-r^2} \, dt \end{eqnarray*}$
(http://mathworld.wolfram.com/Erf.html)
So stellt sich eben die Frage: Ist das eigentlich dasselbe?
Mein "eigentliches" Anliegen ist, wenn man das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^x \! e^{-r^2} \, dt \end{eqnarray*}$ berechnen soll, wäre die Antwort $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x) \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Auf den ersten Blick scheinen die beiden Definitionen NICHT dasselbe zu bedeuten. Die zweite scheint sogar fehlerhaft zu sein, denn man würde die Exponente einfach als Konstante vor das Integral ziehen, da sie nicht von t abhängt. Dazu noch scheint unplausibel, dass vom Parameter "r" zwar die Form der Gausschen Glocke abhängt, aber nicht der resultierende Integralwert (links steht ja erf(x) und nicht erf(x,r)).
ODER ich verstehe grundsätzlich etwas nicht und es besteht doch ein Zusammenhang zwischen den beiden Definitionen den ich sehr gerne wüßte. Vielleicht mittels einer Substitution o.Ä. bekommt man eben mit Hilfe der ersten Definition $\begin{eqnarray*} \int_0^x \! e^{-r^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x) \end{eqnarray*}$ ?

Ich wäre Euch sehr dankbar für die Aufklärung.

14.05.2012, 14:26

Steffen Bühler

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RE: Fehlerfunktion erf(x)

Zitat:

Original von runk03
$\begin{eqnarray*} erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \! e^{-r^2} \, dt \end{eqnarray*}$
(http://mathworld.wolfram.com/Erf.html)

Nein, auch da steht t im Exponenten, kein r. Sieht man spätestens im Quelltext.

Viele Grüße
Steffen

14.05.2012, 15:34

Totto-GE

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RE: Fehlerfunktion erf(x)
Die Formeln (13) - (15) sind fehlerhaft

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