Stetigkeit + Sinus

25.01.2007, 21:32

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit + Sinus

Hallo,

ich habe einmal eine Frage zum Sinus.

Ich habe gelesen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist. Dieses kann ich auch noch so weit nachvollziehen, da eine Division durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht erlaubt ist.

Nun kann ich aber geschickter weise noch ein wenig umändern.

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }n\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }n\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie ich dieses zeigen kann.
Meine Idee wäre es das Folgenkriterium für Stetigkeit zu nehmen, allerdings frage ich mich, wie gezeigt werden kann, dass es wirklich alle Folgen dieses erfüllen.

Versteht ihr ungefähr was ich meine?

Bin über jede Antwort dankbar.

Viele Grüße
-- MrMilk

25.01.2007, 21:39

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus

Zitat:

Original von MrMilk
Ich habe gelesen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist. Dieses kann ich auch noch so weit nachvollziehen, da eine Division durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht erlaubt ist.

Solange f in 0 nicht definiert ist, kannst du da nicht von Stetigkeit oder Unstetigkeit reden.

Zitat:

Nun kann ich aber geschickter weise noch ein wenig umändern.

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }n\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }n\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie ich dieses zeigen kann.

OK, was willst du nun zeigen ?

Grüße Abakus smile

smile

25.01.2007, 21:43

Schmonk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus

Zitat:

Original von MrMilk
Ich habe gelesen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist. Dieses kann ich auch noch so weit nachvollziehen, da eine Division durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht erlaubt ist.

Das liegt nicht nur daran. Betrachte doch mal den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}~\sin(\frac 1x) \end{eqnarray*}$
Je näher du der Null kommst, umso mehr osziliert die Funktion.
Du könntest sie meiner Meinung nur stetig fortsetzen, wenn dieser Grenzwert existieren würde, was aber nicht der Fall ist.

Analog könntest du auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}~\sin(x) \end{eqnarray*}$ betrachten. Dazu gibt es hier im Board sicherlich einige Themen.

Grüße!

25.01.2007, 21:48

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus
um zu überprüfen, ob dein f(n) stetig ist, würde ich so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} sin(\frac {1}{x}) \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, also auch stetig

Du musst also nur noch prüfen, ob f an der Stelle x=0 stetig ist.

Dafür würde ich den Satz nehmen:

f ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0}\ {f(x)} = f(x_0) \end{eqnarray*}$

So müsstest du die Stetigkeit überprüfen können.

Viele Grüße, Dr. Logik

25.01.2007, 21:49

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus

Zitat:

Original von MrMilk
Nun kann ich aber geschickter weise noch ein wenig umändern.

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }n\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }n\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }x\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }x\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x_n := \frac{1}{2\pi n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n := \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ und setze diese mal in deine Funktion ein (Folgenkriterium)...

25.01.2007, 21:49

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus
Hallo,

als erstes dachte ich so etwas macht die Unstetigkeit aus, dass die Funktion an einer Stelle zum Beispiel nicht definiert ist. Oder leige ich da falsch?

Zitat:

Solange f in 0 nicht definiert ist, kannst du da nicht von Stetigkeit oder Unstetigkeit reden.

Viele Grüße
-- MrMilk

Anzeige

25.01.2007, 21:54

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus

Zitat:

Original von MrMilk
als erstes dachte ich so etwas macht die Unstetigkeit aus, dass die Funktion an einer Stelle zum Beispiel nicht definiert ist. Oder leige ich da falsch?

Nein, Undefiniertheit hat mit Unstetigkeit nichts zu tun.

25.01.2007, 21:54

Schmonk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit + Sinus

Zitat:

Original von MrMilk
Hallo,

als erstes dachte ich so etwas macht die Unstetigkeit aus, dass die Funktion an einer Stelle zum Beispiel nicht definiert ist. Oder leige ich da falsch?

Kleines Gegenbeispiel gefällig?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0&x\neq 1\\1&x=1\end{cases} \end{eqnarray*}$
An der Stelle x=1 ist die Funktion definiert, aber nicht stetig.

Gruß!

25.01.2007, 21:55

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das sind aber viele antworten.
Danke smile

smile

Oder liegt die Unstetigkeit daran, dass $\begin{eqnarray*} f(n) = sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigl) \end{eqnarray*}$ zu stark am ende osziliert?

Weil wenn es damit zu tun hat, dass dürfte mir doch auch die Fallunterscheidung bei diesem Problem nicht weiter helfen.
Wenn dieses so wäre, würde ich daraus folgern, dass beide Funktionen unstetig sind.

Viele Grüße
-- MrMilk

25.01.2007, 21:57

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und wie man das beweisen kann, habe ich schon geschrieben.

25.01.2007, 22:00

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo theriesen,

kannst du mir auch grob sagen wie du darauf gekommen bist?
Im Augenblick kann ich nicht nachvollziehen, wie plötzlich der Schluss auf $\begin{eqnarray*} x_n:= \frac{1}{2\pi n} \end{eqnarray*}$ kommt.

Wäre echt super.

Viele Grüße
-- MrMilk

25.01.2007, 22:03

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ sind Nullfolgen. Es ist $\begin{eqnarray*} \sin 0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Weiter ist $\begin{eqnarray*} \sin \frac{1}{x_n} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \frac{1}{y_n} = 1 \end{eqnarray*}$ . Tja, und für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} \sin \frac{1}{x_n} = \sin\frac{1}{y_n} \end{eqnarray*}$ gelten, wenn die Funktion stetig wäre...

25.01.2007, 22:08

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde noch mehr interessieren, wie du auf die Folgen so gekommen bist.

Gibt es da bestimmte Tricks/Kniffe? Gibt es für bestimmte Grenzwerte Folgen wo eine Untersuchung sich immer lohnt?

Viele Grüße
-- MrMilk

25.01.2007, 22:10

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du schon sagtest, oszilliert die Funktion für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ . Das muss man eben irgendwie mathematisch sauber formulieren. Und bei den trigonometrischen Funktionen steckt eigtl. immer ein $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in der Folge mit drin Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2007, 22:16

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt gut.

Aber nun angenommen ich habe eine Funktion die stetig ist und möchte mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit zeigen, dass sie unstetig ist, wie kann ich dann beweisen, dass es wirkliche keine Folge gibt, wo es doch gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq \lim_{m \to \infty} b_m \end{eqnarray*}$

Oder sollte ich das Folgenkriterium für Stetigkeit nur da nutzen, wo ich wirklich weiß, dass die Funktion an dieser Position unstetig ist.

Viele Grüße
-- MrMilk

25.01.2007, 22:19

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
ich habe eine Funktion die stetig ist und möchte mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit zeigen, dass sie unstetig ist

geschockt

Zitat:

Original von MrMilk
wie kann ich dann beweisen, dass es wirkliche keine Folge gibt, wo es doch gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq \lim_{m \to \infty} b_m \end{eqnarray*}$

Das ist i.a. nicht einfach. Das Folgenkriterium eignet sich am besten zum Zeigen von Unstetigkeitsstellen und für allgemeine Beweise.

26.01.2007, 13:00

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was verstehst du genau unter "allgemeine Beweise"?

Viele Grüße
-- MrMilk

26.01.2007, 16:04

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel die Rechenregeln für konvergente Folgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei der Exponentialfunktion eignet sich das Folgenkriterium auch gut (vgl. Forster)

26.01.2007, 16:06

Schmonk

Auf diesen Beitrag antworten »

Servus!

Ich denke mal, Therisen meint Beweise allgemeiner Aussagen, der Art "Stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar.", wenn du also mit einer beliebigen stetigen funktion hantierst und nicht mit einer konkreten.

Gruß!

26.01.2007, 22:10

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun kann die Funktion noch dämpfen, sprich das starke oszillieren runter ziehen, in dem ich das Ganze mit x mulitpliziere.

Sprich

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases}x * sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }n\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }n\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Fallunterscheidung weg lassen würde, wäre es dann noch stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Meiner Ansicht nach nicht, da $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Liege ich da richtig?

Viele Grüße
--MrMilk

26.01.2007, 22:33

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
Sprich

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases}x * sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }n\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }n\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Willst du mich ärgern? Stetigkeit + Sinus

Zitat:

Original von MrMilk
Wenn ich die Fallunterscheidung weg lassen würde, wäre es dann noch stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Meiner Ansicht nach nicht, da $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Was ist es? Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

26.01.2007, 23:01

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, du meinst weil $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist oder nicht, kann ich darüber gar keine Aussage treffen, richtig?

Viele Grüße
-- MrMilk

26.01.2007, 23:05

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine das, was ich geschrieben habe. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x\sin\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ lässt sich mit $\begin{eqnarray*} f(0):=0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen.

26.01.2007, 23:13

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stehe ich grade auf dem Schlau unglücklich

unglücklich

Wie soll sich die funktion fortsetzen ohne die Fallunterscheidung? Weil ich kann doch nicht den Sinus von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ bilden.

Bitte grade diese Unwissenheit nicht übel nehmen.
Werde es mir morgen auch noch einmal in aller Ruhe durchlesen.

Viele Grüße
-- MrMilk

26.01.2007, 23:14

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Na weil $\begin{eqnarray*} -x\leq x\sin \frac{1}{x} \leq x \end{eqnarray*}$ gilt, folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left(x\sin \frac{1}{x}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Das ist der Satz von den zwei Polizisten Big Laugh

Big Laugh

26.01.2007, 23:28

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wer sind die Polizisten?

Also wenn ich das zusammenfasse:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x * sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigl) \end{eqnarray*}$

ist überall stetig?

Viele Grüße
-- MrMilk

26.01.2007, 23:31

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polizisten sind $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +x \end{eqnarray*}$ . Denk mal anschaulich über den Satz nach (auch bekannt als Sandwich-Lemma) Big Laugh

Big Laugh

Richtig.

27.01.2007, 11:51

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

ich habe nun eine Nacht darüber geschlafen. Das Sandwitchlemma kenne ich.
Allerdings habe ich noch mit der Tatsache, dass ich eine Division durch Null führen würde ein Problem.
Oder gucke ich da ob es ganz knapp vor der Null und ganz knapp nach der Null gegen Null läuft? Sprich ich überspringe die Stelle wo x ganu Null ist?

Ist dann
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x * sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }x\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }x\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$
auch stetig?

Da wäre es mir logisch, dass es stetig ist.

Viele Grüße
-- MrMilk

27.01.2007, 11:58

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
Allerdings habe ich noch mit der Tatsache, dass ich eine Division durch Null führen würde ein Problem.
Oder gucke ich da ob es ganz knapp vor der Null und ganz knapp nach der Null gegen Null läuft? Sprich ich überspringe die Stelle wo x ganu Null ist?

Nun, der Sinn der Grenzwertbetrachtung ist eben genau der, dass man nicht durch Null teilt!

Zitat:

Original von MrMilk
Ist dann
$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases}x * sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }n\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }n\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$
auch stetig?

Du kapierst es einfach nicht. $\begin{eqnarray*} f(n) := x\sin\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist einfach nur eine Konstante! Was soll denn das n hier? Du hast diesen Fehler jetzt dreimal gemacht Forum Kloppe

Forum Kloppe

In diesem Fall ist einfach $\begin{eqnarray*} f'(n) = 0 \end{eqnarray*}$ . Hast du das jetzt endlich kapiert?

Zum dritten Mal: Ja, deine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn du statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreibst. Geht das in deinen Kopf rein??

27.01.2007, 12:06

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

So besser?
Entschuldigung, dass ich das n mit dem x vertauscht habe.
traurig

traurig

Viele Grüße
-- MrMilk

27.01.2007, 12:10

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon gut, aber dreimal den gleichen Tippfehler zu machen wenn ich dich zweimal darauf hingewiesen habe ist schon peinlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2007, 12:27

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast gewonnen (3x Mal) *bekomme_einen_roten_Kopf*
Verstehe auch nun die Antwort mit der konstanten.

Nach dem ich es korrigiert habe, ist das doch richtig mit dem Limes bis kurz davor, aber nicht genau gegen Null. Betrachte die Stelle $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ nicht. Da davor und danach beide gegen Null gehen sist es super.

Ich folgere daraus, dass beide Fälle ob mit oder ohne Fallunterscheidung stetig sind.

Würde ich aber so unterscheiden, dass bei $\begin{eqnarray*} falls x = 0, dann 5 \end{eqnarray*}$ so wäre es nicht mehr stetig.

Ich hoffe nun ist es bei mir in der Rübe angekommen.

Viele Grüße
-- MrMilk

27.01.2007, 12:42

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
Ich folgere daraus, dass beide Fälle ob mit oder ohne Fallunterscheidung stetig sind.

Welche beiden Fälle?

Zitat:

Original von MrMilk
Würde ich aber so unterscheiden, dass bei $\begin{eqnarray*} falls x = 0, dann 5 \end{eqnarray*}$ so wäre es nicht mehr stetig.

Ja.

27.01.2007, 12:50

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldiung, meinte beide Funktionen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x * sin \Bigl(\frac{1}{x}\Bigl), & \text{wenn }x\neq\text{ 0} \\ 0, & \text{wenn }x\text{ = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x * sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigl) \end{eqnarray*}$

Meinte beide stetig.
Viele Grüße
--MrMilk

27.01.2007, 13:00

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das obere ist die stetige Forsetzung der unteren Funktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Noch ein Bildchen:

Gruß, therisen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »