Konvergenz an Grenzen des Konvergenzbereichs

14.05.2012, 18:14

ldchris

Konvergenz an Grenzen des Konvergenzbereichs

Guten Abend,
eine kurze prinzipielle Frage habe ich.

ich habe die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=23}^\infty \frac{(-9)^{k}x^{2k} }{k} \end{eqnarray*}$

Für diese habe ich den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ bestimmt. (Ich hoffe, der stimmt?) Das heist also mein Konvergenzbereich ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-1}{9} | \frac{1}{9} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt geht es mir nur darum, zu bestimmen ob Konvergenz auch an den Grenzen vorliegt.

Dazu betrachte ich wieder meine Ausgangsformel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=23}^\infty \frac{(-9)^{k}x^{2k} }{k} \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} x= \pm \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

Das ergibt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=23}^\infty \frac{(-9)^{k}(\frac{1}{9})^{2k} }{k} \end{eqnarray*}$
(Da der Exponent bei x immer gerade ist, ist das Verhalten für + und - identisch)

Kann ich hier jetzt einfach das Wurzelkriterium/Quotientenkriterium anwenden und beweisen, dass der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{9} \end{eqnarray*}$ ist und demnach muss es an den Grenzen konvergieren, da der Betrag ja kleiner 1 ist?

Auf der anderen Seite ist es aber jedoch keine monotone Nullfolge (durch das $\begin{eqnarray*} (-9)^{k} \end{eqnarray*}$ ) und dürfte also eigentlich nicht konvergieren oder?

Welcher Ansatz stimmt denn nun?

Vielen Dank schonmal und liebe Grüße.

14.05.2012, 22:27

schultz

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{9})^{2k}=((\frac{1}{9})^k)^2 \end{eqnarray*}$ .
das kannst du dann mit $\begin{eqnarray*} (9)^k \end{eqnarray*}$ kürzen und übrig bleibt eine Reihe, deren Konvergenz du mit dem Leibnitzkriterium zeigen könntest.

14.05.2012, 22:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von ldchris
Für diese habe ich den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ bestimmt. (Ich hoffe, der stimmt?)

Nein, der richtige Konvergenzradius ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Anscheinend hast du das $\begin{eqnarray*} x^{2k} \end{eqnarray*}$ nicht richtig ernstgenommen und so getan, als hätte dort $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ gestanden - das geht nicht, zumindest nicht in der Weise. unglücklich

Die Untersuchung des Konvergenzverhaltens am Rande des Konvergenzbereichs einer Potenzreihe mit Hilfe von Wurzel- oder Quotientenkriteriums ist ziemlich sinnlos: Es wird dort schon vom Prinzip her immer der Wert 1 herauskommen, d.h. Unentscheidbarkeit. Augenzwinkern

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