Stochastik, Erwartungswert Glücksrad

14.05.2012, 18:41

Gast11022013

Stochastik, Erwartungswert Glücksrad

Meine Frage:
Hi, ich bräuchte eben etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ein Glücksrad wird zweimal gedreht und besteht aus sechs Sektoren. Gewonnen haben alle Zahlenkombinationen von 1|1 bis 6|6, und zwar

$\begin{eqnarray*} 1|1 \rightarrow 5 2|2 \rightarrow 3 3|3 \rightarrow 3 4|4 \rightarrow 2 5|5 \rightarrow 2 6|6 \rightarrow 5 \end{eqnarray*}$

Der Einsatz beträgt 1 Euro.

a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Streuung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

b) Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? (1|2 und 2|1 sind u. a. zwei verschiedene Aussspielungen.)

Meine Ideen:
Um den Erwartungswert zu ermitteln habe ich so gerechnet.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss 1|1 usw. ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich jeweils den Gewinn (Auszahlung - Einsatz) Damit mulitpliziert und jeweils addiert. Dabei kann ich jeweils 2 zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} E(X)= 2\cdot 4\cdot \frac{1}{36}+2\cdot 2\cdot \frac{1}{36}+2\cdot 1\cdot \frac{1}{36}=\frac{7}{18} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich V(X) berechnet.

$\begin{eqnarray*} V(X)=(4-\frac{7}{18})^2*\frac{1}{36}+(2-\frac{7}{18})^2*\frac{1}{36}+(1-\frac{7}{18})^2*\frac{1}{36}=0,8894 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{V(X)} \sigma=0,943 \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

b) Hier bin ich mir nicht ganz sicher. Ich würde nun die Erwartungswertformel nehmen und jeweils den Gewinn des Spiel (also ohne den Einsatz abzuziehen) Minus einen x Wert rechnen, was den Einsatz symbolisieren soll und = 0 setzen.

Also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{36}\cdot (5-x)+\frac{2}{36}\cdot (3-x)+\frac{2}{36}\cdot (2-x)=0 \end{eqnarray*}$

Nun Klammer ich aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{36}((5-x)+(3-x)+(2-x))=0 10-3x=0 x=3\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist mir ein wenig hoch.
Habe ich was falsch gemacht?
Falscher Gedanke??

14.05.2012, 19:07

HAL 9000

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Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ - der Brutto- oder der Nettogewinn, d.h. ohne oder mit Abzug des Einsatzes?

Wenn es der Bruttogewinn ist, dann musst du bei E(X) mit 5,3,2 statt wie du mit 4,2,1 rechnen. Wenn es aber der Nettogewinn ist (was ich annehme), dann hast du die vielen Verlustfälle mit "Gewinn" -1 schlicht unter den Tisch fallen lassen. So oder so ist also deine Rechnung falsch.

14.05.2012, 19:10

Gast11022013

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Stimmt. Du hast recht.
Ich habe mit dem Nettogewinn gerechnet.

Danke für den Hinweis.
Ich probiere es gleich noch einmal.

14.05.2012, 19:12

HAL 9000

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Übrigens: Die Berechnung der Varianz bei solchen ganzzahligen Zufallsgrößen mit "krummen" Erwartungswert geht wesentlich schmerzfreier mit der Formel

$\begin{eqnarray*} V(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_i p_ix_i \end{eqnarray*}$ (wie gehabt) und

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \sum_i p_ix_i^2 \end{eqnarray*}$ .

14.05.2012, 19:16

Gast11022013

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Hmmm... das verstehe ich nicht so ganz.

$\begin{eqnarray*} E(X)=-\frac{4}{9} \sigma=1,3425 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

14.05.2012, 19:20

HAL 9000

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Was genau verstehst du nicht? verwirrt

14.05.2012, 19:21

Gast11022013

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Wieso das schmerzfreier ist.

14.05.2012, 19:26

HAL 9000

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Naja:

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \frac{4^2+2^2+1^2+15\cdot (-1)^2}{18} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = 2-\frac{16}{81} = \frac{146}{81} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{V(X)} = \frac{\sqrt{146}}{9} \end{eqnarray*}$

Kann man (bis auf die Wurzel) fast im Kopf rechnen.

14.05.2012, 19:30

Gast11022013

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Ahh cool. Danke für diesen Lösungsweg. Freude

Bei b) habe ich nun so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} (5-x)\cdot \frac{2}{36}+(3-x)\cdot \frac{2}{36}+(2-x)\cdot \frac{2}{36}+((-1)-x)\cdot \frac{30}{36}=0 \end{eqnarray*}$
So komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x=\frac{5}{18} \end{eqnarray*}$
oder gerundet:

$\begin{eqnarray*} x=0,28 \end{eqnarray*}$

14.05.2012, 19:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} (5-x)\cdot \frac{2}{36}+(3-x)\cdot \frac{2}{36}+(2-x)\cdot \frac{2}{36}+((-1)-x)\cdot \frac{30}{36}=0 \end{eqnarray*}$

Der letzte Summand lautet nicht $\begin{eqnarray*} ((-1)-x)\cdot \frac{30}{36} \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot \frac{30}{36} \end{eqnarray*}$ , jetzt bist du erneut beim Verlustfall durcheinandergekommen...

-----------------------------

Ich würde die Sache von Anfang an anders angehen:

Statt deines Nettogewinns $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ würde ich mich auf Bruttogewinn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ konzentrieren, beide sind ja über $\begin{eqnarray*} X=Y-c \end{eqnarray*}$ mit konstanten Einsatz $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ verknüpft. Und dann kann man gemeinsam für a) und b) rechnen:

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \frac{5+3+2}{18} = \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y^2) = \frac{5^2+3^2+2^2}{18} = \frac{19}{9} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} V(Y) = E(Y^2)-(E(Y))^2 = \frac{146}{81} \end{eqnarray*}$ .

Nun die bekannten Eigenschaften für Erwartungswert und Varianz benutzen:

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(Y)-c = \frac{5}{9} - c \stackrel{a)}{=} \frac{5}{9} - 1 = -\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X) = V(Y-c) = V(Y) = \frac{146}{81} \end{eqnarray*}$ ,

denn eine konstante Verschiebung ändert die Varianz nicht.

In b) fordert man nun abweichend $\begin{eqnarray*} 0 \stackrel{b)}{=} E(X) = \frac{5}{9} - c \end{eqnarray*}$ , womit sich sofort $\begin{eqnarray*} c= \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ ergibt.

14.05.2012, 19:45

Gast11022013

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Wieso komme ich auf sowas nicht. Big Laugh

Sehr cool. Danke dir. Freude

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