Überführe DGL 2.Ordnung in DGL 1.Ordnung und wende Polygonzugverfahren an

14.05.2012, 18:41	schnika	Auf diesen Beitrag antworten »
Überführe DGL 2.Ordnung in DGL 1.Ordnung und wende Polygonzugverfahren an Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabenstellung bereitet mir Probleme: a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung $\begin{eqnarray} y'' = -y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(0) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(0) = 1 \end{eqnarray}$ in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung. b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite $\begin{eqnarray} s =1/2 \end{eqnarray}$ die Näherungspunkte $\begin{eqnarray} P_0, P_1, P_2, P_3, P_4 \end{eqnarray}$ für dieses System. c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle $\begin{eqnarray} \pi/2 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zu Teil a habe ich auf diversen Seiten folgenden Ansatz gefunden: Setze: $\begin{eqnarray} v_1' = v_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2' = -y \end{eqnarray}$ Das ist ein DGL System bestehend aus 2 gekoppelten DGL 1. Ordung Ich denke dieses ist gefordert, oder? Zu b) Definition aus der Vorlesung: Es sei ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} F: G \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auf einer offenen Menge $\begin{eqnarray} G \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und eine Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} y(t_0)=P \epsilon \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gegeben. Das eulersche Polygonzugverfahren funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite $\begin{eqnarray} s>0 \end{eqnarray}$ und berechnet rekursiv die Punktfolge $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ , durch $\begin{eqnarray} P_0 = P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_{n+1} = P_n + sF(t_0+ns,P_n) \end{eqnarray}$ Zu einem schon konstruierten Punkt $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ wird also das s-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_0+ns \end{eqnarray}$ an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} P_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_1 = \begin{pmatrix} 0+1/2 \\ 0+1/2F(P_n) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber was genau ist jetzt mein $\begin{eqnarray} F(P_n) \end{eqnarray}$ ?
14.05.2012, 20:41	schnika	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch mal weiter gemacht: Als DGL System habe ich: $\begin{eqnarray} \vec{y} = \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 \\ <br /> -1 & 0<br /> \end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> y_1 \\ <br /> y_2<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wegen meiner Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} y(0) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(0)=1 \end{eqnarray}$ erhalte ich für $\begin{eqnarray} s = 1/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_0 = \vec{y_0} = \begin{pmatrix}<br /> 0 + 1/2 * 1 \\ <br /> 1 + 1/2 * -1<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> 0.5 \\ <br /> 0.5<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_1 = \vec{y_1} = \begin{pmatrix}<br /> 0.5 + 1/2 * 0.5 \\ <br /> 0.5 + 0.5 * -0.5<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br /> 3/4 \\ <br /> 1/4<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das macht aber überhaupt keinen Sinn, da der Polygonzug eine Sinusfunktion beschreiben müsste.. Ich bin echt planlos. EDIT: Ok ich glaub jetzt hab ichs verstanden: Der erste Wert in meiner Matrix ist der aktuelle y-Wert. Und der zweite Wert ist eine Art Änderungsrate, die für den nächsten Rechenschritt wichtig ist? $\begin{eqnarray} P_2 = \vec{y_2} = \begin{pmatrix}<br /> 7/8 \\ <br /> -1/8<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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