Beweis der "Erweiterten Geometrischen Summenformel"

14.05.2012, 21:48

Hilfloser4

Beweis der "Erweiterten Geometrischen Summenformel"

Meine Frage:
Zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} (1-q)*\sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Frage: ich hab bereits die normale geometrische summenformel mit induktion bewiesen jetzt weiß ich nur nicht: soll ich hier so vorgehen, dass ich das (1-q) vor der summe reinzieh und dann alles auf einen nenner bringe? oder wie fange ich am besten an?

14.05.2012, 22:08

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (1-q)\cdot \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} = \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} - q\cdot \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} = \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} - \sum\limits_{k=1}^n kq^k \end{eqnarray*}$

Jetzt Indexverschiebung in der ersten Teilsumme, so dass dort auch $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ steht...

15.05.2012, 08:18

Hilfloser4

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hmm das sieht doch schon besser aus damit lässt sich arbeiten danke dir HAL

wie ist das mit der Indexverschiebung? muss ich die oben oder unten am summenzeichen vornehmen? weil ich weiß das ich 1/q bzw. (q^-1) von dem ausdruck wegnehmen muss ich weiß nur nicht wohin damit
für den hinweis wär ich dir noch sehr verbunden, den rest mach ich selbst smile

danke dir

15.05.2012, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hilfloser4
wie ist das mit der Indexverschiebung? muss ich die oben oder unten am summenzeichen vornehmen?

Bei der Indexverschiebung substituierst du j = k-1 . Entsprechend mußt du auch die Grenzen der Summe anpassen.

15.05.2012, 08:39

Hilfloser4

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dann würde die summe doch von j=0 bis n-1 laufen oder?

15.05.2012, 08:49

klarsoweit

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Ja.

15.05.2012, 08:49

Hilfloser4

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juhu ich hab was richtig xD

danke dir Augenzwinkern

ich stell den beweis mal rein zu drüberschaun wenn ich fertig bin

15.05.2012, 10:19

Hilfloser4

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also mein beweis sieht so aus:

zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (1-q)\sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} \end{eqnarray*}$
Beweis: durch induktion nach n

IA: f. n = 1 gilt: ... 1-q = 1-q
IV: Behauptung gelte für ein festes n, zu zeigen: Beh. gilt auch für n+1, d.h.:
$\begin{eqnarray*} (1-q)\sum\limits_{k=1}^{n+1} kq^{k-1} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-q)\sum\limits_{k=1}^{n+1} kq^{k-1} = (1-q) (\sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} + (n+1)q^{n}) = \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} - \sum\limits_{k=1}^n kq^{k} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + nq^{n} +q^{n} - nq^{n+1} + q^{n+1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} +q^{n} - nq^{n+1} + q^{n+1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} + \frac{q^{n}(1-q)}{1-q} + \frac{q^{n+1}(1-q)}{1-q} - nq^{n+1} = \frac{1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q} - nq^{n+1} = \frac{1-q^{n+2}}{1-q} - nq^{n+1} = \frac{1-q^{n+2}}{1-q} - nq^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+1} = \frac{1-q^{n+2}}{1-q} - (n+1)q^{n+1} - \frac{q^{n+1}(1-q)}{1-q} = \frac{1-q^{n+2}-q^{n+1}+q^{n+2}}{1-q} - (n+1)q^{n+1} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

q.e.d.

15.05.2012, 10:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hilfloser4
$\begin{eqnarray*} = (1-q) (\sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} + (n+1)q^{n}) = \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} - \sum\limits_{k=1}^n kq^{k} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Hier ist irgendwas schief gelaufen. Wie willst du da die IV anwenden?

Es wäre auch besser, wenn du $\begin{eqnarray*} (1-q) \cdot \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} \end{eqnarray*}$ nicht weiter auflösen würdest. Dann geht das auch mit der Anwendung der IV.

15.05.2012, 11:00

Hilfloser4

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hm ja ich sehs grad...heißt wenn ich in der ersten Zeile der gleichheit die multiplikation mit (1-q) einfach nur auf beide summanden zieh ist das besser und deutlicher oder? und weniger schreibarbeit

aber im prinzip stimmts dann aber oder?

15.05.2012, 11:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hilfloser4
$\begin{eqnarray*} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + nq^{n} +q^{n} - nq^{n+1} + q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Habe noch was übersehen. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + nq^{n} +q^{n} - nq^{n+1} - q^{n+1} \end{eqnarray*}$

15.05.2012, 11:51

Hilfloser4

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oh ja sry das hab ich falsch aufgeschrieben auf meinem blatt stehts richtig smile

danke dir

15.05.2012, 11:58

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Das kann nicht sein. Es geht ja auch falsch weiter.

15.05.2012, 12:02

Hilfloser4

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hmm ich schau nochmal drüber

15.05.2012, 12:28

Hilfloser4

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hmm also mit dem vorzeichen funktionierts dann nicht mehr...was soll ich anschließend hieran dann eher machen?

$\begin{eqnarray*} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} = \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + nq^{n} +q^{n} - nq^{n+1} - q^{n+1} \end{eqnarray*}$

15.05.2012, 13:12

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, wo das Problem ist. Der letzte Summand in

Zitat:

Original von Hilfloser4
$\begin{eqnarray*} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^{n} + (n+1)q^{n} - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

wird doch schon genau in dieser Form gebraucht, also läßt man ihn unangetastet.

Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} = (IV) \frac{1-q^{n}}{1-q} - nq^n + (n+1)q^n - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1-q^n}{1-q} - nq^n + nq^n +q^n - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1-q^n}{1-q} + \frac{(1-q) \cdot q^n}{1-q} - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1-q^n + q^n - q^{n+1}}{1-q} - (n+1)q^{n+1} = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} - (n+1)q^{n+1} \end{eqnarray*}$ q.e.d.

15.05.2012, 13:14

Hilfloser4

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oO

wieso hab ich das nicht gesehen ( sich an die stirn klatsch )

so offensichtlich... danke dir Augenzwinkern

15.05.2012, 13:41

HAL 9000

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Beiläufig bemerkt: Ich hatte die Empfehlung

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} (1-q)\cdot \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} = \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} - q\cdot \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} = \sum\limits_{k=1}^n kq^{k-1} - \sum\limits_{k=1}^n kq^k \end{eqnarray*}$

Jetzt Indexverschiebung in der ersten Teilsumme, so dass dort auch $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ steht...

auch nur gegeben, damit man ganz ohne Induktion auskommt:

$\begin{eqnarray*} \ldots &=& \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1)q^k - \sum\limits_{k=1}^n kq^k = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1-k)q^k ~-~nq^n \\ &=& \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^k ~-~nq^n = \frac{1-q^n}{1-q}-nq^n \end{eqnarray*}$

letzteres mit der "normalen" geometrischen Summenformel, die ihr ja deines Bekunden nach schon bewiesen hattet. Augenzwinkern

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