simultane Diagonalisierbarkeit

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ropart Auf diesen Beitrag antworten »
simultane Diagonalisierbarkeit
Es seien diagonalisierbar, und es sei AB =
BA (man sagt, A und B seien vertauschbar oder sie kommutieren). Zeige:
i) Ist , so ist der Eigenraum ein B-invarianter Unterraum.
ii) A und B lassen sich simultan diagonalisieren, d.h. es gibt eine Basis von V , deren Elemente Eigenvektoren
sowohl von A als auch von B sind.
iii)* Formuliere und beweise eine Verallgemeinerung von ii) für mehr als zwei Endomorphismen.


Hi,
ich denke i) hab ich gelöst:
Da und BA=AB gilt: ist EV von A zu also ist

zu ii): Da dachte ich mir, ich kann einfach i) benutzen und sagen, dass aus Bv_i ist EV von A auch folgen muss, dass v_i ein EV von B ist, aber dann ist mir gekommen, dass der Eigenraum zu ja auch mehrdimensional sein kann und B nur einen EV zu auch auf einen anderen EV zu abbildet, also somit v_i kein EV von B sein muss..
Und jetzt komm ich da nicht weiter, evtl. gibt ja auch ne Möglichkeit zu zeigen, dass ist, falls das so wäre.

zu iii) Dazu muss ich wohl erst mal ii) lösen Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch , wobei die Eigenwerte von A sind.

Nun hast du gezeigt, dass alle diese Eigenräume auch B-invariant sind.

Nun unterscheide 2 Fälle:

1. s = 1. Was ist dann mit A los? Warum ist die Aussage dann trivial?

2. s > 1. Betrachte die Einschränkungen und . Das sind alles Endomorphismen auf Vektorräumen mit Dimension echt kleiner als der von V. Also ein Fall für Induktion.
ropart Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal!

Zu Fall 1:
s=1. Dann hat A nur einen einzigen EW und dessen Eigenraum ist gleich V. Folglich hat A die Form . Das heißt jedes ist EV zu A. Also können wir einfach eine Basis aus EV von B nehmen, da jedes v auch EV zu A ist.
Stimmt das soweit?
(Muss erstmal weg, kann erst später wieder weiterdenken^^)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Fall 1 wäre damit abgehakt Freude
ropart Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich bin mit deinem Hilfsvorschlag nicht so recht weitergekommen..
Habe aber erstmal noch eine Frage zu Fall 1: Muss A da wirklich sein? Kann es nicht doch noch eine andere Abbildung A geben, die auch eine Basis von EV zu nur 1 EW hat?

Da ich wie gesagt nicht so recht weitergekommen bin (liegt vl. daran, dass ich nicht drauf komme wie ich mit den Einschränkungen eine Induktion bauen kann), hab ich mir einen anderen Weg überlegt, der glaub ich funktioniert:

. Sei und
.Dann kann mit i) ich jedes schreiben. Dann ist . Da die Summe der Eigenraume direkt ist gilt . Also sind die w_i auch EV zu B. Da das für jedes v EV zu B gilt (also jeder EV von B durch gemeinsame EV von A und B darstellbar ist und es eine Basis aus EV von B zu V gibt, bilden die gemeinsamen EV ein Erzeugendensystem. also gibt es auch eine Basis aus gemeinsamen EV von A und B.

Bin mir zwar relativ sicher, dass da kein Fehler drin ist, aber es würde mich dennoch dein Weg mit der Induktion interessieren. smile
Außerdem hab ich noch keine Idee für die iii), außer das sich das Verfahren von i) und ii) auch irgendwie auf mehr als zwei diagonalisierbare Endomorphismen ausweiten lässt^^
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte die Summe denn direkt sein?

Und noch mal zu Fall 1:

Ist , so ist . Also ist der Kern der ganze Raum, also ist .

Zur Fall 2: Das ist eigentlich fast ein Einzeiler. Die Einschränkungen kommutieren natürlich wieder (trivial) und sind wieder diagonalisierbar (Warum?) und nach Induktion findet sich für jede Einschränkung schon eine gemeinsame Basis aus EVs. Diese Basen muss man nur noch zusammenpacken.
 
 
ropart Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die w_i 's je aus einem anderen Eigenraum kommen und bzgl. B nach i) invariant ist, ist es die Summe der Bw_i's auch direkt :-)

Fall1: Danke, das wäre dann der Beweis den ich nicht konstruieren konnte^^

Fall2: Versteh das mit der Einschränkung immer noch nicht so ganz, wie du sie konstruierst.. muss ich nochmal drüber nachdenken..
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das ist dann das richtige Argument.


Zur iii) kann man sagen, dass die Aussage für jede beliebige Menge (meinentwegen sogar überabzählbar viele) von paarweise kommutierenden, diagonalisierbaren Endomorphismen gilt.

Da musst du halt den Beweis noch etwas ausbauen.
ropart Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich denke, das ist sogar ziemlich leicht mit Induktion zu zeigen, wenn ichs mir recht überlege:
Den Induktionsanfang haben wir schon.
I.S: kommutieren alle A_i paarweise, so ist für alle v aus der gemeinsamen Basis von a_i, dann nach i) auch invariant bzgl A_n+1.
Dann lässt sich wie in ii) jedes a EV von A_n+1 wieder als direkte Summe gemeinsamer EV von den A_i's darstellen. Daraus folgt: EZS aus gemeinsamen EV. Daraus folgt: Es existiert gemeinsame Basis aus EV für alle A_n+1.
Das war jetzt ziemlich kurz, aber so denke ich müsste das funktionieren (nur etwas genauer aufgeschrieben). Oder? smile

Vielen Dank für deine Hilfe!!
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