Exponentialaufgaben

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialaufgaben
Hallo,


Um 10:00 Uhr morgens misst man in einer Probe eine Population von etwa 120 Bakterien pro cm_2. Um 13:00 Uhr misst man ca. 400 Bakterien pro cm2. Man nimmt an, dass sich die Bakterien exponentiell vermehren.
Bestimmen Sie das Wachstumsgesetz.
Wie viele Bakterien werden sich um 21:00 Uhr auf 1cm2 tummeln?
Wann wird die Anzahl der Bakterien pro cm2 die Zahl von 10.000 übersteigen?
Wie viele Bakterien waren es etwa um 08:00 Uhr am Morgen?


lg
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hübsche Aufgabe....und nu ?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege: Mit welchem Wachstumsfaktor werden in 3 Stunden aus 120 Bakt.
400 Bakt? Gleichung aufstellen!
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »



= Bakterien zu Beginn.

= Bakterien nach t Zeit.

Gesucht ist jeweils das x.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nimmst du e^x? Der Wachstumsfaktor ist zunächst doch erstmal gesucht!
Du kennst doch den Exponenten für die ersten 3 Stunden!
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Statt dem e = 120 Bakterien.
Statt t = 3h für die Zeit.

x = gesucht.

lg
 
 
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung kann doch nur lauten:

B(0)*x^3 = B(t)

Setze nun dein B(0) und B(t) ein und löse nach x auf! Dann ergibt sich der Wachstumsfaktor (pro Stunde)!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Merkwürdiger Thread. unglücklich

Fragesteller klatscht zunächst nur eine Aufgabe hin und stellt keine konkreten Fragen.
Fragesteller postet dann irgendwann doch einen eigenen Gedanken aber Antworter will ihm unbedingt seine Methode aufbrummen und scheut sich auch nicht die ganze Zeit durch Ausrufezeichen in jedem Satz rumzuschreien.

Ein Thread zum Vergessen würde ich mal sagen. geschockt
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ausrufezeichen sind hier als "Anspornzeichen" gedacht. Ich will wirklich nicht
rumschreien. Sind die Anregungen wirklich so lächerlich?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass Ausrufezeichen als Ansporn gemeint sind, das höre ich zum ersten Mal.
Aber womöglich definierst du das irgendwie anders als der Rest der Welt. Augenzwinkern

Von lächerlich redet hier niemand (auch wenn ich vorher noch einen Lachsmiley stehen hatte den du offenbar sekundenschnell gesehen hast bevor ich editiert hatte).

Ich gab nur zu bedenken, dass das hier etwas chaotisch ist, weil du zum einen offenbar unbedingt Lust hattest den Thread zu übernehmen (statt erstmal die Reakton auf meine Frage abzuwarten) und dann zusätzlich nicht auf den Ansatz des Fragestellers eingehen wolltest (was aber eigentlich üblich ist wenn er sich schon die Mühe macht).

Vielleicht führt das ja noch zu irgendetwas fruchtbarem, das wird man dann sehen. Wink
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Fragesteller lange nicht reagiert hatte auf die erste Antwort, dachte ich er sei vielleicht überrascht, weil er mit etwas "Konkretem" gerechnet habe. Nur deshalb habe ich mich eingeschaltet.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Woow.

Ich bin durcheinander.

Wenn es möglich ist bitte um Weiterführung bis zur Vollendung der Aufgabe.

Thx.
Ps.

Merkwürdig kann es sein, ich hatte keine Probleme.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid,dass ich/wir dich verwirrt haben. Ich wollte dir zuletzt nur eine, wie ich dachte, leicht zu lösende Gleichung an die Hand geben.

Also: Wenn du die Gleichung zunächst durch B(0) teilst und dann das Ergebnis durch das Ziehen der notwendigen Wurzel vereinfachst, erhälst du den Wachstumsfaktor. Mit dem kannst du dann die übrigen Aufgaben lösen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

thx.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




= Bakterien zu Beginn.

= Bakterien nach t Zeit.

Gesucht ist jeweils das x.


Wenn du es mit deinem eigenen Ansatz machen willst, benutze B0=120, t=3 und Bt=400 und löse nach x auf.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Für weniger Geübte, denke ich, ist es einfacher mit dem Wachstumsfaktor zu arbeiten. Mein Ansatz ohne e^x ist, so glaube ich, ist einfacher zu handhaben.
Aber ich kann mich auch täuschen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Über den Kenntnisstand von Tipso kann man aus diesem Thread nichts großartig entnehmen.
Man kann nur vermuten, dass im Unterricht Funktionen der Form behandelt werden (sonst hätte er ja nicht selbst sofort diesen Zusammenhang gepostet) und die eulersche Zahl e als Basis aktuell benutzt wird.
In Klasse 9 oder 10 werden natürlich erstmal nur Exponentialfunktionen der Form besprochen bzw eingeführt.
Da hier aber in der Aufgabe keine Fragen zum Wachstumsfaktor bzw dem prozentualem Wachstum gestellt sind, hat diese Darstellung keine großen Vorteile.
Ums logarithmieren kommt man eh nicht herum und mit deinem Vorschlag müsste man zusätzlich dann noch mit Wurzeln arbeiten (was für viele dann noch als zusätzliche Schwierigkeit fungieren könnte).

Naja es scheint dem Fragesteller ja soweit alles klar zu sein, sonst wären ja noch weitere Fragen gekommen.

Insofern ist das Thema nun auch erledigt, würde ich sagen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Jezt wirds kompliziert. x)

Ich werde die Aufgabe auf beide Artn lösen und hier reinposten.

Schätze nach der Abendschule, ca 22 30 bin ich wieder zuhause.

Schönen Tag noch : )
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Let's do it.

Ich nehme

da ich sowieso log. muss um an das Ziel zu kommen.



/120

jetzt brauche ich das x.

/ log

soweit, sogut ?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer: als log brauchst du hier den ln . Denn lne^x =x
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich nicht ganz

warum ich das ln brauche

warum ln^x = x ist.



/ t / ln ( e )

und wir haben x ?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen den Wert von x. Da das x im Exponenten steht, kommen wir nur ran,wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung logaritmieren.
Das tun wir hier mit dem ln, als dem natüröichen Logaritmus, der die Basis e, die eulersche Zahl (= 2,7172...) hat. Es gilt doch: lne^x = x, d.h ln und e^ heben sich auf. ^(Zahlenbeispiel: lne^5 ergibt 5).
Das gleiche gilt auch für e^x*t; lne^x*t ergibt x*t. Damit haben wir unser x sozusagen "auf die Erde" geholt, wo wir es haben möchten.Den Wert auf der rechten Seite berechnen wir und erhalten. ln(400/120) = 1,2039.....
Damit bleibt übrig: x*t = 1,2039... Wenn wir nun t=3 (für 3Stunden Wachstum)
setzen erhalten wir: x*3= 1,2039... , durch 3 geteilt ergibt: x=0,4013....

Du verwendest in deiner letzten Nachricht in der Gleichung den Ausdruck lne und der ergibt 1. Dadurch "verschwindet" das e auf der linken Seite und die Gleichung lässt sich "problemloser" weiterlösen.
Mit diesem x kannst du nun die anderen Wachstumszeiträume berechnen, also für 21 Uhr und 8Uhr früh.
In derTeilaufgabe b ,wo nach der Zeit gefragt ist, musst du die Gleichung unter Verweundung von x=0,4013 nach t auflösen. Hier gilt es, das t aus dem Exponenten "auf die Erde" zu holen. Das Verfahren kennst du jetzt.

Übrigens sehe ich gerade noch: Du zitierst mich falsch: Ich sagte nicht: ln^x = x, sondern lne^x = x. Beispiel lne^5 =5. Der Ausdruck ln^x drückt ohne eine Basis für x nichts aus.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@adiutor62, bitte verwende unseren Formeleditor, wenn du mathematische Formeln und Umformungen aufschreiben willst. So ist etwa

Zitat:
Original von adiutor62
Das gleiche gilt auch für e^x*t; lne^x*t ergibt x*t. Damit haben wir unser x sozusagen "auf die Erde" geholt, wo wir es haben möchten.


sehr missverständlich, da es nach Konvention (Potenz vor Punkt vor Strich) zu lesen ist als und eben nicht als . Dadurch wird die weitere Umformung natürlich falsch, da sich dann ergibt.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis. Habe ich komplett übersehen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Thx, jetzt verstehe ich das mit ln und e x)

Mit Zunge
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

/ ln



/ln ( t )




soweit richtig ?

lg
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Anwenden des ln bleibt nur noch übrig:

x*t = ln(400/120) Denk daran: lne^x = x da ln und e^ sich aufheben.

Jetzt kannst du nach x entgültig auflösen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »



x = 1,11

Nun gilt es diese Fragen zu beantworten:
Wie viele Bakterien werden sich um 21:00 Uhr auf 1cm2 tummeln?
Wann wird die Anzahl der Bakterien pro cm2 die Zahl von 10.000 übersteigen?
Wie viele Bakterien waren es etwa um 08:00 Uhr am Morgen?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

x = ln(400/120) : 3
x= 0,40132
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, habe das Ln vergessen. Freude
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rest ist nur noch die Formelumformen.

Thx
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt besser Formel umstellen. Genau. Jetzt bist du auf den Geschmack gekommen. Aber pass bitte genau auf beim Auflösen mit dem Logaritmus.
Absolute Konzentration ist erforderlich, wenn man das noch nicht so oft oder länger nicht gemacht hat. Präge dir vor allen das mit dem lne^x = x gut ein.
Viel Spaß
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Thx.

Werde ich machen. Freude
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch ich danke dir für deine Geduld. Habe wieder einiges dazugelernt.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich bin doch nicht so gut wie gewünscht.

Hier mein Versuch, b zu lösen:

Wann wird die Anzahl der Bakterien pro cm2 die Zahl von 10.000 übersteigen?


N(t) = N(0) * e^{x*t}

10 000 = 120 * e^{0,40*x}


stimmt die Formel soweit ?


10 000 /120 = e^{0,40*x} /-ln

ln 10 000/120 = 0,40 *x

x = ln 10 000/120 / 0,40


x = 11,06 h


Vor allem der richtige Einsatz vom Wachstumsfaktor, 0,40 macht mir Sorgen.
Ist dieser, richtig eingesetzt ??

lg
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