Induktion mit schwieriger Grenze

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15.05.2012, 10:00	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion mit schwieriger Grenze Meine Frage: Also zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb{N}_0 : \sum_{k=1}^{2^n} \frac 1k \geq 1+\frac 12 n \end{eqnarray}$ Meine Idee: mein Ansatz ist so: IA: klar IV: klar IS: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2^{n+1}} \frac 1k = \sum_{k=1}^{2^{n}} \frac 1k + \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac 1k \end{eqnarray}$ nur jetzt weiss ich leider nicht, wie ich darauf die IV anwenden soll ich mein es ist klar dass der erste ausdruck ersetzt werdenkann heißt ich hätte dann größer gleich IV + die zweite summe aber was mach ich mit der? (EDIT/Helferlein: Hatte versehentlich den Beitrag wegeditiert und nun wieder eingefügt, sorry)
15.05.2012, 10:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Geeignet abschätzen. Du weisst doch schon, wo es hingehen soll. Am Ende musst Du $\begin{eqnarray} 1+\frac 12 (n+1) \end{eqnarray}$ stehen haben.
15.05.2012, 10:26	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
das weiß ich schon nur wohin führt mich die 2te summe? ich weiß dass das die folgeglieder sind aber kann ich die dann abschätzen? zu sowas zum beispiel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} = \sum\limits_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{k} + \sum\limits_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \geq (IV) 1+ \frac{1}{2}n + (2^{n}\sum\limits_{k=2^{n+1}}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}) \end{eqnarray}$ ? weil dann käme ich hier raus: $\begin{eqnarray} 1 + \frac{1}{2}n + (2^{n} \frac{1}{2^{n}+2^{n}}) = 1+ \frac{1}{2}n+ \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ dann käme ich auf die n+1
15.05.2012, 11:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion mit schwieriger Grenze Du musst doch nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac 1k \geq \frac 12 \end{eqnarray}$ Überleg Dir dazu, wieviele Summanden das sind und wie sie zusammen $\begin{eqnarray} \frac 12 \end{eqnarray}$ ergeben könnten.
15.05.2012, 11:13	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion mit schwieriger Grenze ich vermute dass es $\begin{eqnarray} 2^{n} \end{eqnarray}$ summanden sind, aber wie ich das mit dem $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ in verbindung bringen soll weiß ich grad nicht.... ist meine denkweise oben falsch gewesen? ich steh aufm schlauch sry
15.05.2012, 11:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zähl doch einfach nach Der erste Summand gehört zum Index $\begin{eqnarray} k=2^n+1 \end{eqnarray}$ , der letzte zu $\begin{eqnarray} k=2^{n+1}=2^n+? \end{eqnarray}$ Schreib Dir meinetwegen ein Beispiel auf, wenn Du nicht erkennst, wie Du all diese Summanden nach oben abschätzen kannst.
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15.05.2012, 11:30	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
so wie du das hingeschrieben hast sind es ja $\begin{eqnarray} 2^{n} \end{eqnarray}$ summanden weil das $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ erst dann erreicht wird wenn ich statt der 1 wieder $\begin{eqnarray} 2^{n} \end{eqnarray}$ stehen habe das ist mir klar.... das bedeutet ja aber dann dass ich wie ich oben beschrieben hatte eigentlich $\begin{eqnarray} 2^{n} \end{eqnarray}$ dieser summanden habe deren gestalt sich so abschätzen lässt oder nicht(?): $\begin{eqnarray} 2^{n} (\sum_{k=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \frac 1k) \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sprich $\begin{eqnarray} 2^{n} \end{eqnarray}$ mal den letzten summanden
15.05.2012, 11:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst lernen, präziser zu werden. Wieso steht da noch eine Summe? So wie Du es aufgeschrieben hast, ist es nur noch ein einzelner Summand. und die Gleichung für ungeübte nicht direkt ersichtlich.
15.05.2012, 11:39	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
dann musst du mir dabei helfen sry weil das weiß ich jetzt nicht das grundgerüst und den gedanken hinter all dem versteh ich aber dabei müsstest du mir auf die sprünge helfen danke dir schonmal trotzdem
15.05.2012, 11:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast oben (13:30) geschrieben, dass die Summe von $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ gehen soll. Das ist ein einziger Summand. Das ist zwar richtig, geht aber aus dieser Darstellung nicht so hervor. Ich würde die Summe einfach weglassen und den Summanden direkt hinschreiben.
15.05.2012, 11:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Hilfloser4 Du hast schon Recht mit deiner Abschätzung, aber es kann auf den Leser extrem verwirrend wirken, wenn du $\begin{eqnarray} 2^n \left( \sum_{k=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray}$ schreibst statt gleich $\begin{eqnarray} 2^n \cdot \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ .
15.05.2012, 14:45	Hilfloser4	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank euch! das hilft mir sehr weiter

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