Lineare Ausgleichsrechnung

15.05.2012, 13:14

Marcel 19

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Lineare Ausgleichsrechnung

Meine Frage:
Gegeben sind die Punkte

sk -1 0 1
fk -2 -1 1

Zu den punkten gehört die Kurve:
$\begin{eqnarray*} f(s)=x1*s+(1-s-s^2)*x2 \end{eqnarray*}$

2. Bestimmen Sie die Parameter x1, x2 ? R optimal im Sinne der kleinsten Fehlerquadratmethode.
Gehen Sie dazu in den folgenden Schritten vor:

(a) Schreiben Sie die Fehlerquadratsumme explizit hin. Sie erhalten dann eine Funktion
R : R2 ? R in den Unbekannten x1 und x2.

(b) Bilden Sie nun den Gradienten von R und schreiben Sie die notwendige Bedingung
f¨ur ein Extremum hin.

(c) Schreiben Sie nun das lineare Gleichungssystem (das sind die Normalgleichungen)
hin, das die L¨osung des Minimierungsproblems festlegt. L¨osen Sie das lineare Gleichungssystem,
um x1 und x2 zu bestimmen.

(d) Warum liegt ein Minimum vor und kein Maximum?

3. Zeichnen Sie nun die Funktion f in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil 1 ein.
4. Wie groß ist in dieser Aufgabe die Fehlerquadratsumme, wenn Sie die Funktion f explizit
f¨ur die berechneten Werte x1 und x2 aufschreiben?

Meine Ideen:
Zeichnung habe ich dafür!

16.05.2012, 20:06

Kasen75

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Hallo Macel,

du hast ja die Funktion $\begin{eqnarray*} f(s)=x_1*s+(1-s-s^2)*x_2 \end{eqnarray*}$ mit den Parametern $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .
Und die drei Punkte
$\begin{eqnarray*} (s_1/f_1), (s_2/f_2), (s_3/f_3)=(-1/-2), (0/-1), (1/1). \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du drei Gleichungen aufstellen. Diese drei Gleichungen sind die Grundlage um eine Regression durchzuführen. Dazu braucht man die Summe der quadratischen Abweichungen (Fehlerquadratsumme). Allgemein sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \text{Fehlerquadratsumme}=\sum\limits_{k=1}^3 \bigg( x_1*s+(1-s-s^2)*x_2-f(s_k) \bigg)^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{k=1} \end{eqnarray*}$ bzw. den Datenpunkt $\begin{eqnarray*} (s_1/f_1(s_1))=(-1/-2) \end{eqnarray*}$ sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} f(s_1)=-2 \end{eqnarray*}$ (gegeben)

Also:

$\begin{eqnarray*} \bigg( x_1*-1+(1-(-1)-(-1)^2)*x_2-(-2) \bigg)^2=\bigg( -x_1+x_2+2 \bigg)^2 \end{eqnarray*}$
Diese Ausdrücke muss man jetzt auch noch für $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{k=2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{k=3} \end{eqnarray*}$ schreiben und summieren. Das würde ich erst einmal machen. Wie du siehst muss man höllisch mit den Vorzeichen aufpassen. Da gibt es viele Möglichkeiten Fehler zu machen. Aber es ist machbar. Freude

Freude

Mit freundlichen Grüßen

17.05.2012, 20:22

Marcel 19

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Warum setze ich den 2 und 3 ein? DAS SIND DOCH NICHT DIE PUNKTE ODER?

17.05.2012, 20:30

Kasen75

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nein. Da hast du recht. Was ich meinte war in der Formel:

$\begin{eqnarray*} \text{Fehlerquadratsumme}=\sum\limits_{k=1}^3 \bigg( x_1*s+(1-s-s^2)*x_2-f(s_k) \bigg)^2 \end{eqnarray*}$

wenn da k=2 und k=3 ist. Die anderen beiden Punkte sind in der Tat $\begin{eqnarray*} (0/-1), (1/1). \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 20:44

Marcel 19

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Für K=2:

(1x2+1)^2

Für K=3

(x1+1x2-1)^2

oder?

17.05.2012, 20:52

Kasen75

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Hallo,

da würde im bei $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ noch mal nachrechnen.

Zitat:

k=3

$\begin{eqnarray*} (x1+1x2-1)^2 \end{eqnarray*}$

Ansonsten sieht es gut aus. Freude

Freude

Danach würde ich jedes einzelne ausmultiplizieren.

Also bei k=1

$\begin{eqnarray*} \bigg( -x_1+x_2+2 \bigg)^2=\bigg( -x_1+x_2+2 \bigg) \cdot \bigg( -x_1+x_2+2 \bigg) \end{eqnarray*}$

Und das eben ausmultiplizieren.

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17.05.2012, 21:01

Marcel 19

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2x2 oder`??

17.05.2012, 21:28

Kasen75

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Hallo,

war kurz weg. Bin jetzt aber wieder da.

ich habe gerechnet bei k=3 $\begin{eqnarray*} (1 - 1 - 1)x_2 = -x_2 \end{eqnarray*}$ gerechnet. Wenn du dagegen keine Einwände hast (ich kann mich ja auch irren), dann würde ich jetzt mit dem ausmultiplizieren anfangen.

17.05.2012, 21:32

Kasen75

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Bevor du ausmultipliziert würde ich vielleicht x_1 durch a und x_2 durch b ersetzten. Das würde die ganze Sache übersichtlicher machen.

k=1
$\begin{eqnarray*} \bigg( -a+b+2 \bigg)^2 \end{eqnarray*}$

k=2
$\begin{eqnarray*} (b+1)^2 \end{eqnarray*}$

Für K=3

$\begin{eqnarray*} (a-b-1)^2 \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 21:39

Kasen75

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Siehst du und schon habe ich einen Fehler bei mir gefunden.

k=1

$\begin{eqnarray*} \bigg( -a\textcolor{red}{-}b+2 \bigg)^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jetzt stimmts.

17.05.2012, 21:43

Marcel 19

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K1=

x2^2-2x1x2+x1^2+3x2-4x1+4

K2=
x^4+2x^2+1

K3=

x2^2-2x1x2+x1^2+2x2-2x1+1

17.05.2012, 21:54

Marcel 19

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K1=
a^2+2ab-4a+b^2-4b+4

K2=
b^2+2b+1

K3=
a^2-2ab-2a+b^2+2b+1

17.05.2012, 22:06

Kasen75

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ich schreib jetzt nur noch mit den Variablen a und b (wegen der Übersicht)

k=1

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2-4b-4a+4 \end{eqnarray*}$

k=2

$\begin{eqnarray*} b^2+2b+1 \end{eqnarray*}$

k=3

$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2+2b-2a+1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet.

ich sehe wir haben das gleiche raus. Jetzt die drei Ausdrücke addieren und zusammenfassen. Zusammenfassen kann man nur Ausdrücke, die die gleichen Variablen haben. (ab=ba) b^2=b^2 b=b a=a usw. Danach nach a und nach b jeweils ableiten.

Du kannst aber auch gleich die drei Terme addieren (ohne Zusammenzufassen) und dann einmal nach a und einmal nach b ableiten.

17.05.2012, 22:10

Marcel 19

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Bin jetzt offline Mache morgen weiter!!!

17.05.2012, 22:11

Kasen75

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OK.

Wink

18.05.2012, 10:41

Marcel 19

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Muss ich jetzt die erste gleichung gleich 0 setzen und dann für die 2 gleichung bei der 0 einsetzten und dann rüber bringen oder?

a^2+2ab+4a+b^2-4b+4=b^2+2b+1

und dann rüber bringen oder?

18.05.2012, 13:02

Kasen75

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hallo,

die summe der Ausdrücke dir du ermittelt hast hinnschreiben. Danach nach a ableiten. Die gleiche Funktion auch nach b ableiten und jeweils Null setzen.

18.05.2012, 13:49

Marcel 19

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Bei mir kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} a^{4}-6a+b^{6}+6=0 \end{eqnarray*}$

UND JETZT NACH A UND B ABLEITEN?

18.05.2012, 14:00

Kasen75

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Es kann nichts höher als hoch 2 rauskommen. Du sollst nur addieren. Wie gesagt du kannst nur Gleiches mit Gleichem addieren. 2ab und 2ab^2 kann man z.B. nicht addieren.

Es gibt verschiedene Ausdrücke, die man nicht addieren kann: $\begin{eqnarray*} ab, ab^2, a^2b, a, b, a^2, etc. \end{eqnarray*}$

Und ganz wichtig: $\begin{eqnarray*} a^2+a^2 = 2a^2 \end{eqnarray*}$ . Somit gilt: $\begin{eqnarray*} a^2+a^2 \neq a^4 \end{eqnarray*}$

Bin für 2 Stunden weg.

Mit freundlichen Grüßen

18.05.2012, 14:12

Marcel 19

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jetzt habe ich das raus!

$\begin{eqnarray*} 2a^{2}-6a+3b^2+6=0 \end{eqnarray*}$

18.05.2012, 14:22

Marcel 19

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Und das ableiten!

NACH a:

4a-6

nach b:

6b

18.05.2012, 14:40

Kasen75

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Wenn das richtig ist, dann wäre a=1,5 und und b=0. Ob das richtig ist, solltest du noch einmal von Anfang an überprüfen. Wie gesagt, die Aufgabe ist sehr fehleranfällig. Du kennst ja jetzt die Vorgehensweise. Ich schau mir das auch noch mal an, aber erst in ein paar Stunden.

Mit freundlichen Grüßen.

18.05.2012, 14:56

Marcel 19

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ist das jetzt nur a von der aufgabe!

18.05.2012, 15:04

Kasen75

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RE: Lineare Ausgleichsrechnung
Hallo,

das war a-c. Wie gesagt schau dir noch mal an was du gerechnest hat. Auch das Aufstellen der Gleichungen ganz am Anfang. Es könnte irgendwo ein Fehler sein. Das ist auch eine gute Übung. Vielleicht findest du ja irgendwas.

18.05.2012, 17:59

Marcel 19

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Nee find keinen fehler!!

18.05.2012, 21:40

Marcel 19

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Geht man immer so vor wenn man so eine aufgaben stellung bekommt??

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