Erzeugendensystem im R2 mit R3 Vektoren?

15.05.2012, 14:11	balu325	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem im R2 mit R3 Vektoren? Hallo Leute, ich habe folgende Frage. Ich möchte herausfinden, ob die Vektoren $\begin{eqnarray} u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis eines Vektorraums bilden. Dazu muss ich ja nachweisen, ob die möglichen Basisvektoren linear unabhängig sind und ob sie ein Erzeugendensystem bilden. Linear unabhängig sind diese Vektoren, dies hatte ich schon geprüft. Da es sich hier aber nur um 2 Vektoren handelt, können diese ja nur eine Basis im R² bilden. Allerdings frage ich mich, wie man das überprüfen kann, da es sich hier um Vektoren aus dem R³ handelt. Bei 3 Vektoren hätte ich das folgende LGS gelöst: $\begin{eqnarray} \alpha \vec{a} + \beta * \vec{b} + \gamma * \vec{c} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Aber wie muss ich bei meinem Problem vorgehen? Nur mit x,y gleichsetzten geht ja nicht. Vielen Dank im Voraus
15.05.2012, 16:18	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, so weit bekannt ist, dass eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums genau n Vektoren haben muss, hast du ja schon eine Begründung dafür, dass das keine Basis des IR³ sein kann. Möchtest du das explizit nachweisen, kannst du einen Vektor in IR³ angeben, der keine Linearkombination der Vektoren u und v ist. Übrigens etwas zum Formalen: Die Vektoren sind Elemente aus dem IR³, daher können sie nicht eine Basis des IR² sein. Was du wahrscheinlich meinst ist eher, dass sie einen zum IR² isomorphen Unterraum im IR³ aufspannen.

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