Ebenenschar

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freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenenschar
Meine Frage:
Weisen Sie nach, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar
e(t): (t+1)x1 + x2 + (t-1)x3 + t + 3 = 0 mit t ? R liegt.

Gerade g (berechnet aus den vorherigen Aufgaben):

g: x = (-1 -2 0) + s . (-1 2 1)

Meine Ideen:
Normalerweise könnte ich die Aufgabe lösen, doch mich verwirrt die Gleichung der Ebenenschar. Ich glaube so schwer, wie ich mir das gerade vorstelle, ist es eigentlich nicht smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Setz die Gerade g doch mal in die Ebenenschar ein. Augenzwinkern
 
 
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bjoern1982,

danke für deine Hilfe. Wie setze ich g in die Ebenenschar ein bzw. welche Werte? Löse ich dann nach t auf? Kriege ich dazu eine kleine Erklärung bitte?
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Quatsch!

Ich habe nun den Ortsvektor der Gerade g, sprich x = (-1 -2 0) in e(t) eingesetzt, d.h.:

e(t): (t+1) x (-1) + (-2) + (t-1) x 0 + t + 3 = 0

Zusammengefasst ergibt sich am Ende: 0 = 0

Stimmt es bis hierhin? Wenn ja, bedeutet dies anscheinend, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar e (t) liegt. Aber was bedeutet das konkret? :S
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein allgemeiner Punkt auf der Geraden g hat die Koordinaten:

x1=-1-s

x2=-2+2s

x3=s

Das musst du dann in die Ebenenschar einsetzen und dann mal schauen was dann passiert. Wink
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

x3 = s ?

x1 und x2 verstehe ich ja aber 0 + s x 0 = 0, also x3 = 0 oder nicht?

Die Werte, die du aufgeschrieben hast, habe ich in e (t) eingesetzt aber am ende kam was Sinnloses wie st = -1 raus. Das ist sicherlich falsch, denn welche Aussage kann man schon daraus entnehmen.

Kannst du mir bitte weiterhelfen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal zu x3=s

Die x3-Koordinate des Stützvektors von g lautet 0.
Die x3-Koordinate des Richtungsvektors von g lautet 1.
Folglich entsteht insgesamt x3=0+1s bzw x3=s
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, stimmt. Nimm es mir bitte nicht übel. Bin heute echt mit dem falschen Fuß aufgewacht und irgendwie "trottelig" drauf, dass ich die 1 im Richtungsvektor nicht gesehen habe smile

Die Werte sind verstanden. Danke. Wie geht es nun weiter?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehm dir schon nix übel, keine Bange. Augenzwinkern

Jetzt wie gesagt in die Ebenenschar einsetzen, zusammenfassen und dann müsste beim Zusammenfassen etwas bestimmtes passieren.
Schreib einfach mal was du dann erhälst.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

(t+1) x (-1-s) + (-2+2s) + (t-1) x s + t + 3 = 0 ???

t (s+1) = 1 verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Zeile stimmt, die zweite leider nicht.
Mach es ruhig schön kleinschrittig.
(t+1)(-1-s) ist dann -t-ts-1-s
usw
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

(t+1) x (-1-s) + (-2+2s) + (t-1) x s + t + 3 = 0

-t - ts - 1 - s - 2 + 2s + ts - s + t + 3 = 0

-t - ts - s + 2s + ts - s + t = 0

-t - s + 2s - s + t = 0

-s + 2s - s = 0

0 = 0

Richtig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, perfekt. Freude

Jetzt fehlt nur noch die Interpretation für dieses 0=0, denn was bedeutet das ?
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen bedeutet das, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar liegt und zum anderen, dass s und t identisch sind? verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Teil vor dem Komma stimmt, der danach nicht.
Was hier passiert ist, ist doch, dass s und t einfach komplett wegfallen.
Das bedeutet unabhängig von der Wahl von s und t entsteht hier eine wahre Aussage der Form 0=0.
Das bedeutet hier, dass es unendlich viele Lösungen (also unendlich viele gemeinsame Punkte) geben muss, was nur dann passieren kann, wenn die Gerade in der Ebene liegt.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Ach jaaa genau die Abhängigkeit & Unabhängigkeit! Das ist die Aussage.
Heute ist echt nicht mein Tag *ärgerlich*
Vielen Dank!

In der nächsten Aufgabe komme ich auch nicht weiter.

Welche Bedingung müssen zwei Parameter t1 und t2 erfüllen, damit die zugehörigen Ebenen e (t1) und e (t2) zueinander senkrecht sind?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa da musst du dir nur vor Augen führen was erfüllt sein muss, damit zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen.
Denk mal an deren Normalenvektoren und das Skalarprodukt.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Rein theoretisch glaube ich, wenn man die Normalenvektoren von t1 und t1 aufstellt und sie miteinander multipliziert, sollte als Ergebnis eine echte Lösung kommen. (?)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein leider nicht.
Schau doch mal in deine Unterlagen.
Irgendwo muss das ja stehen wie ihr immer geprüft habt wann zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ebenen sind nicht zueinander parallel und somit orthogonal, wenn n1 kein Vielfaches von n2 ist.

Beispielsweise:

n1 ist ungleich k x n2
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht parallel muss nicht zwangsweise direkt orthogonal bedeuten, sondern nur dass sich die Ebenen dann schneiden.
Bei den Lagebeziehungen findest du das evtl auch gar nicht.
Man muss das Stichwort "senkrecht" in Verbindung mit dem Skalarprodukt bringen.
Vielleicht steht beim Skalarprodukt da etwas bei euch dazu.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich 2 senkrechte Vektoren bzw. Ebenen habe, dann ist deren Skalarprodukt zwangsläufig = 0.

Meinst du das?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und damit muss gelten.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Und das reicht als Antwort für die obige Frage (ohne Rechnung)?


Meine letzten beiden Fragen:

Zeigen Sie, dass folgende Ebenen orthogonal sind.

e1: x1 + x3 + 1 = 0
e2: x1 + x2 - x3 + 3 = 0

Meine Vorgehensweise wäre hier auch, dass ich die Normalenvektoren n1 und n2 für die beiden Ebenen aufstelle, sie miteinander multipliziere und darauf hoffe, dass ich auf 0 komme smile Würden die Normalenvektoren so aussehen oder kann ich die 1 bei e1 und die 3 bei e2 ignorieren? :S

n1 = ( 1 0 3 1) n2 = (1 1 -1 3)


Die letzte Frage - meiner Meinung nach die schwierigste:

Es seien die Punkte P (-2/0/1) und Q(t) ( 1-2t /-2t/ 4+2t ) mit t € R gegeben.
Zeigen Sie, dass die Dreiecke mit den Eckpunkten P,Q(t) und Q(t+1) eine Seite besitzen, die eine von t unabhängige Länge hat.Bestimmen Sie ferner t so, dass die beiden anderen Seiten gleich lang sind.

(Kontrollergebnis: t = - 0,5)
Berechnen Sie die Winkel in diesem Dreieck.

Zur letzten Frage/Aufgabe muss ich sagen, dass wir im Unterricht noch nicht so weit waren und ich damit nicht viel anzufangen weiß. Allerdings muss ich morgen die Lösungen komplett abgeben. Ich hoffe du bist nicht genervt und hast noch die Zeit mir weiterzuhelfen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genervt bin ich sicher nicht, musste nur Fussball noch zu Ende gucken. Augenzwinkern

Also dann mal der Reihe nach:

Zitat:
Und das reicht als Antwort für die obige Frage (ohne Rechnung)?


Naja du musst die beiden Vektoren da natürlich nochmal richtig hinschreiben und die entstehende Gleichung dann nach t1 oder so auflösen, je nachdem was sich da so ergibt (einiges wird sich da auch wegkürzen)



Zitat:
n1 = ( 1 0 3 1) n2 = (1 1 -1 3)


Puh, du hast da ganz schöne Lücken.
Also die Normalenvektoren ergeben sich ausschließlich aus den Faktoren vor den Koordinaten x1 bzw x2 bzw x3. Die konstanten Summanden haben damit also nichts zu tun.

Zitat:
Zur letzten Frage/Aufgabe muss ich sagen, dass wir im Unterricht noch nicht so weit waren und ich damit nicht viel anzufangen weiß.


Naja man muss dafür lediglich die Länge eines Vektors bestimmen, und das ist denke ich nicht sonderlich schwer. Augenzwinkern
Hier macht es auch nur Sinn den Vektor zu betrachten, da bei den anderen Vektoren das t ja nie wegfallen kann.

Also einmal bestimmen und danach noch die Gleichung nach t auflösen.

Wie der Betrag (also die Länge) eines Vektors definiert ist, das steht sicher auch in deinen Unterlagen. Wink
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der Aufgabe mit der Bedingung:

(t1 + 1 ) (t2 + 1 )
( 1 ) ° ( 1 ) = 0
(t1 - 1 ) (t2 - 1 )


Ich habe ein Gleichungssystem gebildet, aus der ersten und der letzten Zeile ( 1 mal 1 in der mittleren Zeile habe ich mir "weggedacht"). Allerdings eliminiert sich keine der beiden Parameter so, dass ich nach t1 oder t2 auflösen könnte.


t1t2 + t1 + t2 + 1 = 0
t1t2 - t1 - t2 +1 = 0
__________________

2t1 + 2t2 = 0 ???

Oder habe ich einen falschen Weg eingeschlagen? smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast leider noch nicht verstanden wie man ein Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet.
Hier steht es nochmal mit Beispiel weiter unten:

http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...hen_Koordinaten
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »




Wie kommst du auf die +1 1 -1 in den n-Vektoren bzw. woher hast du sie abgelesen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
woher hast du sie abgelesen?


Aus der Koordinatenform der gegeben Ebenenschar.
Wie man einen Normalenvektor aus einer Koordinatenform abliest, das schlag am Besten mal schnell nach (wenn du es wirklich nicht siehst).
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht auf die beiden 1 in der mittleren Zeile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf was kämst du denn in der mittleren Zeile - und vor allem wie ?
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch jeweils für e1 und e2 die Koeffizienten von x1, x2 und x3 abgelesen oder nicht? Wenn ja, müsste dann für x2 bei e1 0 stehen, da es kein x2 gibt? :S
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Und kannst du mir nochmal genauer sagen, was ich machen musste bei dieser Aufgabe. Wie gesagt wir sind noch nicht so weit im Unterricht, dass ich von alleine schon drauf komme :S Ich weiß nicht, was ich als erstes berechnen soll/muss - sind so viele Fragen auf einmal smile

Es seien die Punkte P (-2/0/1) und Q(t) ( 1-2t /-2t/ 4+2t ) mit t € R gegeben.
Zeigen Sie, dass die Dreiecke mit den Eckpunkten P,Q(t) und Q(t+1) eine Seite besitzen, die eine von t unabhängige Länge hat.Bestimmen Sie ferner t so, dass die beiden anderen Seiten gleich lang sind.

(Kontrollergebnis: t = - 0,5)
Berechnen Sie die Winkel in diesem Dreieck.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Weisen Sie nach, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar e(t): (t+1)x1 + x2 + (t-1)x3 + t + 3 = 0 mit t ? R liegt.


Also ich sehe da in der Tat x2 stehen.

Zitat:
Wie gesagt wir sind noch nicht so weit im Unterricht, dass ich von alleine schon drauf komme :S Ich weiß nicht, was ich als erstes berechnen soll/muss


Wenn ihr das im Unterricht noch nicht hattet, warum machst du solche Aufgaben denn dann ?
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der Frage, warum wir sowas machen: Mein Lehrer ist dumm...Ich versuche mal die Aufgabe mit dem Parameter zu lösen. Ich hoffe ich schaffe es. Danke für deine Hilfe!
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

t1 + 1 t2 + 1
1 * 1 = 0
t1 - 1 t2 - 1


--> t1t2 + 1
--> 1
--> t1t2 - 1


Und dann?
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das war falsch. Möchte mich korrigieren smile

t1 + 1 t2 + 1
1 * 1
t1 - 1 t2 - 1

--> t1t2 + t1 + t2 + 1 + 1 + t1t2 - t1 - t2 +1
= 2 (t1t2) + 3 | -3
-3 = 2 (t1t2) | / 2
-1,5 = t1t2


Was bedeutet das nun?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nun richtig und die gesuchte Beziehung für t1 und t2.
Sprich wenn man Zahlen t1 und t2 so wählt, dass deren Produkt -1,5 ergibt, dann stehen die beiden enstprechenden Ebenen senkrecht zueinander.
Es fehlt nur in den ersten Zeilen das "gleich null" auf einer Seite.
freshlikem Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau auf der anderen Seite steht natürlich noch die Null.
Und wie gehe ich nun in der letzten Aufgabe voran?

Es seien die Punkte P (-2/0/1) und Q(t) ( 1-2t /-2t/ 4+2t ) mit t € R gegeben.
Zeigen Sie, dass die Dreiecke mit den Eckpunkten P,Q(t) und Q(t+1) eine Seite besitzen, die eine von t unabhängige Länge hat.Bestimmen Sie ferner t so, dass die beiden anderen Seiten gleich lang sind.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich dazu nicht schonmal letztens was geschrieben ?
Mir kommt das so bekannt vor...

Es geht hier im Prinzip nur um die Länge von Vektoren, dafür gibt es eine Formel.
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