Kleiner Satz von Lagrange

15.05.2012, 15:54

Kanta

Kleiner Satz von Lagrange

Hi zusammen,

ich würde gerne den kleinen Satz von Lagrange mit Gruppentheorie beweisen:

Für $\begin{eqnarray*} a \nmid p, a \in \mathbb{Z}, p \in \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} p \mid a^{p-1}-1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich den Restklassenring $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}, \cdot) \end{eqnarray*}$ anschaue, hat die Gruppe der invertierbaren Elemente natürlich Ordnung $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ .

Ist dann nicht $\begin{eqnarray*} a^{p-1} -1 = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Ist das jetzt der Beweis? Wegen $\begin{eqnarray*} 0 \equiv 0 \mod p \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2012, 17:51

lp-raum

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Ich glaube es heißt "Kleiner Satz von Fermat".
Und es sollte $\begin{eqnarray*} p\not\mid a \end{eqnarray*}$ sein, nicht umgekehrt.

Aber, ja, das ist der Beweis. Augenzwinkern

15.05.2012, 18:19

Mystic

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RE: Kleiner Satz von Lagrange
@Kanta

Naja, ich weiß nicht, ob man dir wirklich was Gutes damit tut, wenn man das Ganze so "mild" beurteilt wie eben lp-raum, auch wenn er sicher die ganzen Unzulänglichkeiten in deiner Beweisführung auch gesehen hat... Auf jeden Fall nachfolgend auch mein etwas strengeres Urteil, aber es steht dir natürlich frei, es zu ignorieren...

Zitat:

Original von Kanta
Ist dann nicht $\begin{eqnarray*} a^{p-1} -1 = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nein, das sind keine Gleichheiten, sondern das gilt nur mod p, aber das genügt ja hier auch...

Zitat:

Original von Kanta
Ist das jetzt der Beweis?

Mit dieser Korrektur ja...

Zitat:

Original von Kanta
Wegen $\begin{eqnarray*} 0 \equiv 0 \mod p \end{eqnarray*}$ ?

Nein, keine Ahnung, was du dir dabei gedacht hast... geschockt

Richtig ist, dass aus $\begin{eqnarray*} a^{p-1}-1 \equiv 0 \mod p \end{eqnarray*}$ die zu beweisende Aussage $\begin{eqnarray*} p | a^{p-1}-1 \end{eqnarray*}$ folgt und diese sollte auch immer am Ende einer Schlußkette stehen und nicht irgendeine wahre Aussage wie die von dir angegebene (wobei ich übrigens keine Ahnung habe, wo die zweite Null herkommt)...

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