Funktion, injektiv, surjektiv, bijektiv?

15.05.2012, 17:14

Christian_P

Funktion, injektiv, surjektiv, bijektiv?

Folgende Funktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} f:\, \left[0\, ,\, +\infty\right)\to \left[-10\, ,\, +\infty\right)\, ,\, f(x)=x^2-4x-5 \end{eqnarray*}$

Ich hab die Funktion erstmal grafisch dargestellt.
Der Scheitelpunkt ist bei (2;-9)

Schaut mal, ob meine Ideen gut sind, oder vielleicht zu umständlich.

Injektivität
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in \left[0\, ,\, +\infty\right)(x_1\! \ne x_2 \; \Rightarrow\; f(x_1)\! \ne f(x_2) \, ) \end{eqnarray*}$

Ich zeige ein Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \exists x_1,x_2 \in \left[0\, ,\, +\infty\right)(x_1\! \ne x_2 \; \Rightarrow\; f(x_1)\! = f(x_2) \, ) \end{eqnarray*}$
hier bin ich nicht sicher, ob die Logik richtig ist. A=>B ist ja nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist, oder?

$\begin{eqnarray*} x_1\! = 1 \; \Rightarrow\; f(1)\! =-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2\! = 3 \; \Rightarrow\; f(3)\! = -8 \end{eqnarray*}$
daraus folgt, f ist nicht injektiv.

Surjektivität
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \forall y\in \left[-10\, ,\, +\infty\right) \exists x \in \left[0\, ,\, +\infty\right): f(x)=y \end{eqnarray*}$

Hier zeige ich ebenfalls ein Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \exists y\in \left[-10\, ,\, +\infty\right): \forall x \in \left[0\, ,\, +\infty\right) f(x)\ne y \end{eqnarray*}$
hier bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich richtig negiert habe. Es erschien mir so am logischten.

$\begin{eqnarray*} -10\in \left[-10\, ,\, +\infty\right) : \forall x \in \left[0\, ,\, +\infty\right) f(x)\ne -10 \end{eqnarray*}$

daraus folgt, f ist nicht surjektiv.

Damit ist f insgesamt erst recht nicht bijektiv.

Besonders die Logik bereitet mir ein bisschen Schwierigkeiten.
Auch bin ich mir nicht sicher, ob es nicht auch anders und vielleicht effektiver zu zeigen geht.
Es wäre lieb, wenn ihr mal gucken könntet.

Grüße

15.05.2012, 18:38

Leopold

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Die Implikation beim Negieren der Injektivität stimmt nicht. Richtig ist (wobei die Variablen Elemente von $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ sind):

$\begin{eqnarray*} \exists \, x_1,x_2 \, \left( \ \left( x_1 \neq x_2 \right) \ \wedge \ \left( f(x_1) = f(x_2) \right) \ \right) \end{eqnarray*}$

15.05.2012, 18:59

Christian_P

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ahh danke dir!

achso, wenn ich $\begin{eqnarray*} A \; \Rightarrow \, B \end{eqnarray*}$ negieren möchte,

dann nutze ich doch die Regel und DeMorgan:

$\begin{eqnarray*} \left( A\; \Rightarrow \, B \right )\; \Leftrightarrow \; \left( \neg A \; \vee \; B \right) \quad \overbrace{\to}^{\neg} \quad \neg \left( A\; \Rightarrow \, B \right )\; \Leftrightarrow \; \neg \left( \neg A \; \vee \; B \right)\; \Leftrightarrow \; A \; \wedge \; \neg B \end{eqnarray*}$

mit den Aussagen ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} A: \; x_1\! \ne x_2 \qquad B: \; f(x_1)\! \ne f(x_2)\ \quad \overbrace{\to}^{A \; \wedge \; \neg B} \; (\, x_1 \! \ne x_2\, )\wedge (\, f(x_1)\! = f(x_2)\, ) \end{eqnarray*}$ Tanzen

Dann war mein Versuch die Implikation $\begin{eqnarray*} A \; \Rightarrow \, B \end{eqnarray*}$ zu verneinen falsch! Das kam mir gleich so komisch vor.
Ich hatte einfach gesagt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sei falsch, aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind ja beliebige Aussagen wobei der Wahrheitswert noch nicht festgelegt ist, oder?

15.05.2012, 19:11

Leopold

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Na ja, du wirfst zwei Sprachebenen durcheinander. Ist aber wohl richtig gemeint ...

21.05.2012, 16:51

Christian_P

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Zitat:

Original von Leopold
Na ja, du wirfst zwei Sprachebenen durcheinander. Ist aber wohl richtig gemeint ...

Hi. Sag mal, was meinst du eigentlich mit den zwei Sprachebenen?

21.05.2012, 21:02

Dopap

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$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist eigentlich keine Verknüpfung, sondern eine Folgerung. Hier gilt: A ist hinreichende Bedingung für B, während B eine notwendige für A ist.

Die Kontraposition wäre $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \Leftrightarrow \lnot B \Rightarrow \lnot A \end{eqnarray*}$

bei logischen Variablen p,q ist

$\begin{eqnarray*} p \rightarrow q \end{eqnarray*}$ eine Verknüpfung nämlich die Subjunktion.

und die kann man Umschreiben zu :

$\begin{eqnarray*} p \rightarrow q \Leftrightarrow \lnot p \lor q \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ist wiederum keine Verknüpfung.
um Obiges als wahr zu ermitteln muss gezeigt werden, dass

$\begin{eqnarray*} p \rightarrow q \underbrace {\leftrightarrow }_{\rm Bijunktion} \lnot p \lor q \end{eqnarray*}$

eine Wahrform ist.

Leider sind die Schreibfiguren uneinheitlich.

22.05.2012, 15:01

Christian_P

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Ich dachte, es gäbe nur das eine Zeichen " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " als Implikation, um zwei Aussagen miteinander zu verbinden. Und die Wahrheitstabellen sind auch absolut identisch.

Tarski "Einführung in die Mathematische Logik" sagt:
Wer eine Implikation behauptet, behauptet, dass nicht der Fall eintritt, dass das Vorderglied (A) wahr und das Hinterglied (B) falsch ist.
$\begin{eqnarray*} \left(A \; \Rightarrow B \; \right)\; \Leftrightarrow\; \neg(A\wedge \neg B) \; \Leftrightarrow\; ( \neg A\vee B) \end{eqnarray*}$
so merke ich mir diese Regel - ich finds genial Big Laugh

...naja gut DeMorgan muss man auch noch kennen.

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